Tìm m sao cho đường thẳng (d1): y = (3m+2)x+5 với m khác -1 cắt đường thẳng (d2): y = -x-1 tại điểm A(x; y) sao cho biểu thức P = y² + 2x - 3 đạt giá trị nhỏ nhất

Để tìm m sao cho đường thẳng \(d_1: y = (3m+2)x + 5\) cắt đường thẳng \(d_2: y = -x - 1\) tại điểm \(A(x, y)\) với biểu thức \(P = y^2 + 2x - 3\) đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm giao điểm A của hai đường thẳng.**

Để tìm điểm giao, ta giải hệ phương trình:
\[
(3m+2)x + 5 = -x - 1
\]

Sắp xếp lại:
\[
(3m + 3)x + 6 = 0
\]

Từ đó, ta có:
\[
x = -\frac{6}{3m + 3} = -\frac{2}{m + 1} \quad \text{(Điều kiện: } m \neq -1\text{)}
\]

Thay giá trị \(x\) vào một trong hai phương trình để tìm \(y\):
\[
y = -\left(-\frac{2}{m + 1}\right) - 1 = \frac{2}{m + 1} - 1 = \frac{2 - (m + 1)}{m + 1} = \frac{1 - m}{m + 1}
\]

Vậy điểm A có tọa độ:
\[
A\left(-\frac{2}{m + 1}, \frac{1 - m}{m + 1}\right)
\]

2. **Tính biểu thức P.**

Thay tọa độ của điểm A vào biểu thức \(P = y^2 + 2x - 3\):
\[
P = \left(\frac{1 - m}{m + 1}\right)^2 + 2\left(-\frac{2}{m + 1}\right) - 3
\]
\[
= \frac{(1 - m)^2}{(m + 1)^2} - \frac{4}{m + 1} - 3
\]
Đưa tất cả về mẫu là \((m + 1)^2\):
\[
P = \frac{(1 - m)^2 - 4(m + 1) - 3(m + 1)^2}{(m + 1)^2}
\]

Tính tử số:
\[
P = (1 - 2m + m^2) - 4m - 4 - 3(m^2 + 2m + 1)
\]
\[
= 1 - 2m + m^2 - 4m - 4 - 3m^2 - 6m - 3
\]
\[
= -2m^2 - 12m - 6
\]

Vậy \(P\) được viết dưới dạng:
\[
P = -2m^2 - 12m - 6
\]

3. **Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.**

\(P\) là một hàm bậc 2 (đỉnh của parabol) với hệ số \(a = -2 < 0\). Do đó, hàm này đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh, và giá trị nhỏ nhất sẽ là vô cùng.

Để tìm tọa độ đỉnh \(m\):
\[
m = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot -2} = \frac{12}{-4} = -3
\]

Vậy, giá trị của m là:
\[
m = -3
\]

4. **Kiểm tra điều kiện:**

Do \(m \neq -1\) là điều kiện đã cho và m = -3 thỏa mãn điều kiện.

Tóm lại, ta có \(m = -3\).