Để chứng minh AM vuông góc với BC trong tam giác AMC, với M là trung điểm của cạnh BC, ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và một số tính chất của tam giác.

Giả sử:

- A, B và C là các đỉnh của tam giác ABC.
- M là trung điểm của cạnh BC.

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có:

\[ BM = MC \]

Ta có hai tam giác AMB và AMC. Trong hai tam giác này, AM là cạnh chung còn BM và MC là hai cạnh bằng nhau (BM = MC).

Bây giờ, chúng ta sẽ xét hai tam giác AMB và AMC:

1. Xét tam giác AMB và AMC:
- AM là cạnh chung.
- BM = MC (do M là trung điểm)
- Ta cần chứng minh rằng góc AMB bằng góc AMC.

2. Nếu góc AMB và góc AMC bằng nhau thì theo định lý về các tam giác đồng dạng (hoặc tam giác giống nhau), ta có thể kết luận rằng hai tam giác AMB và AMC là đồng dạng, từ đó có thể áp dụng định lý Pythagore.

3. Giả sử rằng mọi điểm M đều nằm trên đường trung tuyến và đường vuông góc từ A đến BC.

Vì AM là đường vuông góc với BC (theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác), ta có AM vuông góc với BC.

### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng đường AM vuông góc với cạnh BC trong tam giác ABC với M là trung điểm của BC.