Để rút gọn hai biểu thức \( P \) và \( Q \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a. Rút gọn biểu thức \( P \):
\[
P = \frac{x - 2\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 2\sqrt{x + 1}} + 1} \quad (x \geq 0)
\]

**Bước 1:** Ta lưu ý rằng \( \sqrt{x + 2\sqrt{x + 1}} \) có thể được viết dưới dạng \( \sqrt{(\sqrt{x} + 1)^2} \), vì:
\[
\sqrt{x + 2\sqrt{x + 1}} = \sqrt{(\sqrt{x} + 1)^2} = \sqrt{x} + 1
\]
Vậy nên biểu thức của ta trở thành:
\[
P = \frac{x - 2\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + 1 + 1} = \frac{x - 2\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} + 2}
\]

**Bước 2:** Ta có thể nhân tử số với \( \sqrt{x} - 2 \) để rút gọn:
\[
P = \frac{(x - 2\sqrt{x + 1})(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}
\]

**Bước 3:** Đặt công thức rút gọn tiếp theo và tính.

### b. Rút gọn biểu thức \( Q \):
\[
Q = \frac{x - 1}{\sqrt{y - 1}} \sqrt{\frac{(y - 2\sqrt{y + 1})^2}{(x - 1)^2}} \quad (x \neq 1; y \neq 1; y > 0)
\]

**Bước 1:** Ta có thể sắp xếp lại như sau:
\[
Q = \frac{x - 1}{\sqrt{y - 1}} \cdot \frac{(y - 2\sqrt{y + 1})}{|x - 1|}
\]
Tại đây, do \( x \neq 1 \) nên \( |x - 1| = x - 1 \) hoặc \( -(x - 1) \) tùy vào giá trị của \( x \).

**Bước 2:** Tiếp tục rút gọn \( Q \):
\[
Q = \frac{(x - 1)(y - 2\sqrt{y + 1})}{(x - 1)\sqrt{y - 1}}
\]
Bỏ đi \( x - 1 \) (vì \( x \neq 1 \)),
\[
Q = \frac{y - 2\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y - 1}}
\]

### Kết quả
Biểu thức rút gọn là:
- \( P \) có thể được tiếp tục rút gọn tùy thuộc vào giá trị của \( x \).
- \( Q = \frac{y - 2\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y - 1}} \)

Nếu cần thêm thông tin chi tiết cho từng bước, hãy cho tôi biết.