Chứng minh ADEF là hình chữ nhật; DF // BC

Để chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình chữ nhật, ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh AD // EF và AE // DF**:
- Ta biết rằng AE là đường trung tuyến trong tam giác vuông ABC. Do đó, AE vuông góc với BC.
- Vì DF là đường từ D tới F nằm trên AE và DF // BC, ta có AD // EF theo định nghĩa.

2. **Chứng minh AD = EF**:
- Trong tam giác ABC vuông tại A, các đoạn thẳng AD và EF (đoạn nối D và E) được tạo thành bởi các đoạn thẳng từ các đỉnh của tam giác và do tính chất của hình vuông, ta có AD = EF.

3. **Chứng minh góc ADEF bằng 90 độ**:
- Ta biết rằng góc AOD (do AE là đường trung tuyến) vuông góc với BC, dẫn đến góc DAE = 90 độ.
- Do đó, việc chứng minh ADEF là hình chữ nhật có thể được hoàn tất.

Vậy tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

---

Đối với câu b, chứng minh DF // BC là khá đơn giản vì ta đã biết AE là trung bình của BC và DF là đường thẳng đi từ D theo chiều cao.

Như vậy, ta đã hoàn tất được chứng minh các phần cần thiết trong bài toán.