Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \sin x + \cos x \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính nguyên hàm**:
\[
F(x) = \int f(x) \, dx = \int (\sin x + \cos x) \, dx
\]
Ta tính từng phần:
\[
\int \sin x \, dx = -\cos x + C_1
\]
\[
\int \cos x \, dx = \sin x + C_2
\]
Do đó,
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + C
\]
với \( C \) là hằng số tùy ý.

2. **Áp dụng điều kiện**:
Ta có điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \). Tính \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) \):
\[
F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos\left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin\left( \frac{\pi}{2} \right) + C
\]
\[
= -0 + 1 + C = 1 + C
\]
Đặt \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \):
\[
1 + C = 2 \quad \Rightarrow \quad C = 1
\]

3. **Viết lại hàm nguyên hàm**:
Vậy, nguyên hàm \( F(x) \) thỏa mãn điều kiện là:
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + 1
\]

Như vậy, đáp án cuối cùng là:
\[
F(x) = -\cos x + \sin x + 1
\]