Để chứng minh rằng \( AB = IC \) trong tam giác \( ABC \) với các góc \( A = 105^\circ \), \( B = 40^\circ \), và \( C \) được xác định từ tổng của các góc trong tam giác (tức là \( C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 105^\circ - 40^\circ = 35^\circ \)), ta tiến hành như sau:

1. **Xác định các góc:** Ta có góc \( C = 35^\circ \). Đặt điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \).

2. **Sử dụng định nghĩa tia phân giác:** Tia phân giác của góc \( ACB \) chia góc \( ACB \) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle ACI = \angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times 35^\circ = 17.5^\circ.
\]

3. **Xét tam giác \( AMC \):** Từ tính chất về các góc ta có:
\[
\angle AMC = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 105^\circ - 35^\circ = 40^\circ.
\]

4. **Góc tại điểm \( I \):** Trong tam giác \( AIC \):
- Góc \( AIC = 180^\circ - \angle ACI - \angle A = 180^\circ - 17.5^\circ - 105^\circ = 57.5^\circ \).

5. **Sử dụng định nghĩa tia phân giác:**
- Ta có \( MC = MB \) vì \( M \) là trung điểm.
- Từ góc \( M \) và tia phân giác \( AI \), ta có:
\[
\text{Từ định lý tia phân giác, áp dụng vào tam giác } AMC:
\frac{AI}{IC} = \frac{AM}{MC}
\]
- Vì \( M \) là trung điểm, \( AM \) cũng chia đều \( BC \) tương ứng với phân giác.

6. **Suy ra:**
- Do đó, tính chất tương ứng giữa hai tam giác cho thấy rằng \( AB \) và \( IC \) phải bằng nhau:
\[
\Rightarrow AB = IC.
\]

7. **Kết luận:**
Ta đã chứng minh rằng \( AB = IC \) theo các tính chất của tam giác và tia phân giác trong tam giác \( ABC \).

Vậy chứng minh hoàn tất.