Đáp án

Độ dài đoạn thẳng \(HB\) là \(\frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(\frac{{{a^3}\sqrt {13} }}\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định lí cos.

Lời giải

Áp dụng định lí cos cho tam giác \(HBC\) ta được:

\(H{B^2} = H{C^2} + B{C^2} - 2HC.BC.{\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\( = {\left( {\frac{4}} \right)^2} + {a^2} - 2.\frac{4}.a.\frac{1}{2}\)

\( = \frac{{13{a^2}}} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt {13} }}{4}\)

Góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({60^ \circ }\) nên \(\widehat {SBH} = {60^ \circ } \Rightarrow SH = HB\sqrt 3  = \frac{{a\sqrt {39} }}{4}\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {39} }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( = \frac{{\sqrt {13} }}{a^3}\)