Để chứng minh rằng \(9^{2n} + 1994^{3}\) chia hết cho 5, ta sẽ xem xét từng thành phần trong biểu thức này theo modulo 5.

### Bước 1: Tính \(9^{2n} \mod 5\)

Chúng ta có:
\[
9 \equiv 4 \mod 5
\]

Vì vậy, ta có:
\[
9^{2n} \equiv 4^{2n} \mod 5
\]

Ta thấy rằng \(4 \equiv -1 \mod 5\), do đó:
\[
4^{2n} \equiv (-1)^{2n} \equiv 1 \mod 5
\]

### Bước 2: Tính \(1994^{3} \mod 5\)

Tiếp theo, ta tính:
\[
1994 \mod 5
\]
Để làm việc này, ta có:
\[
1994 \div 5 = 398 \quad \text{(nguyên)} \quad \text{và} \quad 1994 - 5 \cdot 398 = 4
\]
Vậy:
\[
1994 \equiv 4 \mod 5
\]
Do đó, ta có:
\[
1994^{3} \equiv 4^{3} \mod 5
\]

Tính \(4^{3} \mod 5\):
\[
4^{3} = 64
\]
Tính \(64 \mod 5\):
\[
64 \div 5 = 12 \quad \text{(nguyên)}, \quad 64 - 5 \cdot 12 = 4
\]
Vậy:
\[
1994^{3} \equiv 4 \mod 5
\]

### Bước 3: Kết hợp lại

Giờ ta kết hợp hai kết quả lại:
\[
9^{2n} + 1994^{3} \equiv 1 + 4 \equiv 5 \equiv 0 \mod 5
\]

### Kết luận

Do đó, chúng ta có:
\[
9^{2n} + 1994^{3} \text{ chia hết cho } 5
\]
Chứng minh hoàn tất!