Để chứng minh rằng \( DH = DI \) trong tam giác \( ABC \) nội tiếp đường tròn \( (O) \), với các điểm như đã cho, ta tiến hành như sau:

1. **Ký hiệu các điểm**:
- \( H \) là giao điểm của đường cao \( AD \) và đường cao \( BE \).
- \( I \) là điểm giao của \( AD \) với đường tròn \( (O) \).

2. **Xét tam giác**: Ta có tam giác \( ABC \) với các đường cao như đã cho.

3. **Sử dụng tính chất đường cao**:
- Điểm \( D \) là chân đường cao của \( A \) trên \( BC \) và điểm \( E \) là chân đường cao của \( B \) trên \( AC \).
- Do đó, \( AD \perp BC \) và \( BE \perp AC \).

4. **Xét các tam giác và góc**:
- Xét tam giác \( AID \) và tam giác \( AHB \):
- \( AH \) là đường cao, do đó \( \angle AHD = 90^\circ \).
- \( \angle AID = 90^\circ \) (bởi vì \( I \) nằm trên đường tròn \( (O) \) và \( AD \) là đường cao).

5. **Xét các tứ giác**:
- Các điểm \( D, H, I \) nằm trên đường thẳng \( AD \), và vì \( D \) là chân đường cao, nên \( H \) và \( I \) nằm trên cùng một đường thẳng thẳng đứng từ \( A \).

6. **Áp dụng định lý**:
- Do \( DH \) và \( DI \) là các đoạn vuông góc từ \( A \) đến đường thẳng \( BC \) và mặt phẳng của đường tròn, theo định lý đường cao trong tam giác vuông, có \( DH = DI \).

Từ các lý luận trên, ta có thể kết luận rằng \( DH = DI \).