Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \leq 1,
\]

các số thực dương \(x\), \(y\), \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4\).

Chúng ta bắt đầu bằng việc sử dụng điều kiện đã cho để biểu diễn các phép biến đổi. Từ điều kiện, ta có:

\[
\frac{yz + xz + xy}{xyz} = 4 \implies yz + xz + xy = 4xyz.
\]

Để chứng minh bất đẳng thức, hãy sử dụng định lý Cauchy-Schwarz. Ta có:

\[
\left( (2x+y+z) + (x+2y+z) + (x+y+2z) \right) \left( \frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \right) \geq (1+1+1)^2 = 9.
\]

Tính tổng trong ngoặc:

\[
(2x+y+z) + (x+2y+z) + (x+y+2z) = 4x + 4y + 4z = 4(x+y+z).
\]

Vì vậy, ta có:

\[
4(x+y+z) \left( \frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \right) \geq 9,
\]

hay

\[
\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \geq \frac{9}{4(x+y+z)}.
\]

Giờ đây, ta cần chứng minh rằng \(\frac{9}{4(x+y+z)} \leq 1\), tức là:

\[
9 \leq 4(x+y+z) \implies x+y+z \geq \frac{9}{4}.
\]

Ta thấy rằng từ điều kiện \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4\), áp dụng định lý hàm số trung bình (AM-HM):

\[
\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} = \frac{3}{4},
\]

hay

\[
x+y+z \geq \frac{9}{4}.
\]

Như vậy, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh là đúng:

\[
\frac{1}{2x+y+z} + \frac{1}{x+2y+z} + \frac{1}{x+y+2z} \leq 1.
\]

Kết thúc.