Ta có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m và chiều rộng 10m. Diện tích toàn bộ mảnh vườn là:

\[
S_{\text{toàn bộ}} = \text{Chiều dài} \times \text{Chiều rộng} = 12 \times 10 = 120 \, \text{m}^2
\]

Giả sử lối đi có độ rộng là \(x\) mét. Khi có lối đi, phần diện tích còn lại sẽ là một hình chữ nhật nhỏ hơn trong mảnh vườn. Kích thước của phần còn lại (phần diện tích sau khi trừ đi lối đi) sẽ là:

- Chiều dài: \(12 - 2x\) (lối đi ở hai bên)
- Chiều rộng: \(10 - 2x\) (lối đi ở hai bên)

a) Biểu thức diện tích phần còn lại của mảnh vườn sẽ là:

\[
S_{\text{còn lại}} = (12 - 2x)(10 - 2x)
\]

Mở rộng biểu thức:

\[
S_{\text{còn lại}} = 120 - 24x - 20x + 4x^2 = 4x^2 - 44x + 120
\]

b) Để tìm giá trị của \(x\) sao cho phần còn lại có diện tích bằng 90m², ta giải phương trình sau:

\[
4x^2 - 44x + 120 = 90
\]

Giải phương trình:

\[
4x^2 - 44x + 120 - 90 = 0
\]
\[
4x^2 - 44x + 30 = 0
\]

Chia toàn bộ phương trình cho 2:

\[
2x^2 - 22x + 15 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc 2 \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \(a = 2\), \(b = -22\), \(c = 15\):

\[
x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}
\]
\[
= \frac{22 \pm \sqrt{484 - 120}}{4}
\]
\[
= \frac{22 \pm \sqrt{364}}{4}
\]
\[
= \frac{22 \pm 19.1}{4}
\]

Tính giá trị của \(x\):

1. \(x_1 = \frac{22 + 19.1}{4} = \frac{41.1}{4} \approx 10.275\)
2. \(x_2 = \frac{22 - 19.1}{4} = \frac{2.9}{4} \approx 0.725\)

Với chiều rộng của lối đi \(x\) phải nhỏ hơn \(5m\) (1/2 chiều rộng của mảnh vườn 10m), nên giá trị hợp lệ cho \(x\) là:

\[
x \approx 0.725 m
\]

Vậy:

- a) Biểu thức diện tích phần còn lại là \(4x^2 - 44x + 120\).
- b) Giá trị của \(x\) để phần diện tích còn lại bằng 90m² là khoảng \(0.725m\).