Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đối một vuông góc với nhau và AD = 2, AB = AC = 1. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC và G là trọng tâm của tam giác ABD. Tính độ dài GI. (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Để giải bài toán, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ các điểm trong tứ diện ABCD.

- Gọi \( A = (0, 0, 0) \)
- Gọi \( B = (1, 0, 0) \) (vì \( AB = 1 \))
- Gọi \( C = (0, 1, 0) \) (vì \( AC = 1 \))
- Gọi \( D = (0, 0, 2) \) (vì \( AD = 2 \))

Vậy ta có các tọa độ của các đỉnh như sau:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(0, 1, 0) \)
- \( D(0, 0, 2) \)

Tiếp theo, ta tính tọa độ điểm \( I \), trung điểm của đoạn thẳng \( BC \):
\[
I = \left( \frac{1 + 0}{2}, \frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0 \right)
\]

Bây giờ, ta tính tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABD \):
\[
G = \left( \frac{0 + 1 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 2}{3} \right) = \left( \frac{1}{3}, 0, \frac{2}{3} \right)
\]

Cuối cùng, ta cần tính độ dài đoạn thẳng \( GI \):
\[
GI = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} - 0 \right)^2 + \left( 0 - \frac{2}{3} \right)^2 }
\]

Tính từng thành phần:
- \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \)
- \( \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \)
- \( 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} \)

Thay vào công thức:
\[
GI = \sqrt{ \left( \frac{1}{6} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{2}{3} \right)^2 }
\]
\[
= \sqrt{ \frac{1}{36} + \frac{1}{4} + \frac{4}{9} }
\]

Đưa tất cả về cùng mẫu số 36:
- \( \frac{1}{4} = \frac{9}{36} \)
- \( \frac{4}{9} = \frac{16}{36} \)

Thay vào:
\[
GI = \sqrt{ \frac{1}{36} + \frac{9}{36} + \frac{16}{36} } = \sqrt{ \frac{26}{36} } = \sqrt{ \frac{13}{18} }
\]

Tính giá trị \( GI \):
\[
GI \approx \sqrt{0.7222} \approx 0.8498
\]

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có:
\[
GI \approx 0.85
\]

Vậy độ dài \( GI \) là khoảng 0.85.