Để chứng minh rằng các số cho trước là các số nguyên tố cùng nhau, ta sẽ xem xét từng trường hợp:

### 1. Các số \( n + 1 \) và \( n + 2 \)

Hai số \( n + 1 \) và \( n + 2 \) sẽ là các số nguyên tố cùng nhau nếu \( \text{gcd}(n + 1, n + 2) = 1 \).

**Chứng minh:**

\[
\text{gcd}(n + 1, n + 2) = \text{gcd}(n + 1, (n + 2) - (n + 1)) = \text{gcd}(n + 1, 1)
\]

Vì 1 là số nguyên tố, ta có:

\[
\text{gcd}(n + 1, 1) = 1.
\]

Do đó, \( n + 1 \) và \( n + 2 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### 2. Các số \( 2n + 2 \) và \( 2n + 3 \)

Tương tự, ta sẽ kiểm tra \( \text{gcd}(2n + 2, 2n + 3) \):

**Chứng minh:**

\[
\text{gcd}(2n + 2, 2n + 3) = \text{gcd}(2n + 2, (2n + 3) - (2n + 2)) = \text{gcd}(2n + 2, 1)
\]

Vì 1 cũng là số nguyên tố, ta có:

\[
\text{gcd}(2n + 2, 1) = 1.
\]

Do đó, \( 2n + 2 \) và \( 2n + 3 \) là các số nguyên tố cùng nhau.

### Kết luận

Với mọi số tự nhiên \( n \), ta đã chứng minh rằng:

1. \( n + 1 \) và \( n + 2 \) là các số nguyên tố cùng nhau.
2. \( 2n + 2 \) và \( 2n + 3 \) cũng là các số nguyên tố cùng nhau.