Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần:

### a) Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle AMC \)

1. **Cạnh chung**: \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác.
2. **Cạnh bằng nhau**: Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên \( MB = MC \).
3. **Cạnh bằng nhau**: Theo giả thiết, \( AB = AC \).

Từ 3 điều trên, ta có:

- \( AM = AM \) (cạnh chung).
- \( MB = MC \) (cạnh bằng nhau).
- \( AB = AC \) (cạnh bằng nhau).

Sử dụng tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng nhau (SAS), ta suy ra:

\[
\triangle AMB = \triangle AMC
\]

### b) Chứng minh \( \angle BAM = \angle CAM \)

Từ kết quả ở phần a), do \( \triangle AMB = \triangle AMC \) nên:

\[
\angle BAM = \angle CAM
\]

### c) Chứng minh \( AM \perp BC \)

1. Ta biết rằng hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle AMC \) bằng nhau.
2. Khi một tam giác có hai cạnh bằng nhau và có cạnh thứ ba là một đường trung tuyến, thì đường trung tuyến sẽ luôn vuông góc với cạnh đối diện.

Vậy từ lý thuyết, suy ra được:

\[
AM \perp BC
\]

### Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được:

- \( \triangle AMB = \triangle AMC \)
- \( \angle BAM = \angle CAM \)
- \( AM \perp BC \)

Do đó, bài toán đã được chứng minh theo yêu cầu.