Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Tính đường cao AH của tam giác ABC.

1. **Đặt số liệu:**
- AB = AC = 2α (do tam giác ABC là tam giác cân tại A)
- Góc B = 30°

2. **Sử dụng định lý sin:**
- Tính góc A (góc tại đỉnh A): Góc A = 180° - góc B - góc C
- Từ đây, vì góc B = góc C (do tam giác cân), ta có Ánh B + Ánh C = 150° (góc A và hai góc B, C).
- Tính góc B = góc C = (180° - 30°) / 2 = 75°.

3. **Tính chiều cao AH:**
- Sử dụng công thức:
- AH = AB * sin(B) = 2α * sin(30°).
- Biết rằng sin(30°) = 0.5.
- Do đó, AH = 2α * 0.5 = α.

### b) Tính độ dài cạnh BC.

1. **Sử dụng định lý của Cosin:**
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(B) \]
\[ BC^2 = (2\alpha)^2 + (2\alpha)^2 - 2 \cdot (2\alpha) \cdot (2\alpha) \cdot \cos(30°) \]
- Tính toán:
\[ BC^2 = 4\alpha^2 + 4\alpha^2 - 8\alpha^2 \cdot \cos(30°) \]
- Biết rằng \(\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ BC^2 = 8\alpha^2 - 8\alpha^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ = 8\alpha^2(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \]
\[ = 8\alpha^2 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \]

2. **Kết quả:**
- Độ dài cạnh BC:
\[ BC = \sqrt{4\alpha^2(2 - \sqrt{3})} = 2\alpha \sqrt{2 - \sqrt{3}} \]

### Tóm tắt kết quả:
- a) Đường cao AH = α.
- b) Độ dài cạnh BC = \( 2\alpha \sqrt{2 - \sqrt{3}} \).