Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước yêu cầu:

### a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \( B \)

Biểu thức \( B \) có dạng:

\[
B = \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1}
\]

**Điều kiện xác định:**

1. Căn bậc 2 phải không âm:
\[
x \geq 0
\]

2. Tử số của phân thức không được bằng 0:
- \( x\sqrt{x} - 1 \neq 0 \) \(\Rightarrow x\sqrt{x} \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow x \neq 1\)
- \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)

3. Mẫu số không được bằng 0:
- \( x + \sqrt{x} + 1 \neq 0 \) (Luôn đúng với \( x \geq 0 \))

Từ đó, điều kiện xác định của \( B \) là:
\[
x \geq 0 \text{ và } x \neq 1
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( B \)

Ta có:

\[
B = \left( \frac{2\sqrt{x} + x}{x\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1}
\]

**Rút gọn biểu thức:**

1. Nhân các tử số lại:
\[
B = \frac{(2\sqrt{x} + x)(x - 1)}{(x\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}
\]

2. Thay cho \( x = t^2 \) với \( t \geq 0 \):
- \( \sqrt{x} = t \)
- Bây giờ, biến đổi sao cho dễ rút gọn hơn.

3. Sau đó, khai thác \( 2\sqrt{x} + x \) và các phần khác để tìm các yếu tố có thể phân tích được.

Kết quả sẽ là một biểu thức rút gọn hơn, không có các yếu tố đã được phân tích.

Vậy biểu thức \( B \) được rút gọn sẽ là một phép chia giữa các đa thức được rút gọn.

*Chi tiết hơn cho các phép biến đổi sẽ phụ thuộc vào việc phân tích các đa thức cùng có thể áp dụng phương pháp phân tích sao cho dễ hiểu nhất.*