Chúng ta cần chứng minh rằng với các số dương \(a\), \(b\), \(c\), và \(d\) (với \(a, b, c, d > 0\)), thì bất đẳng thức sau đây luôn đúng:

\[
1 < \frac{a}{a + b + c}
\]

Để làm điều này, chúng ta sẽ tiến hành các bước sau.

### Bước 1: Chia cả hai phía của bất đẳng thức cho \(a\)

Chúng ta bắt đầu với bất đẳng thức cần chứng minh:

\[
1 < \frac{a}{a + b + c}
\]

Chia cả hai phía cho \(a\) (vì \(a > 0\), nên bất đẳng thức không thay đổi):

\[
1 < \frac{1}{1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}}
\]

### Bước 2: Đưa về phía bên trái

Bây giờ, chúng ta sẽ đảo ngược vị trí của hai vế:

\[
\frac{1}{1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}} < 1
\]

### Bước 3: Hình thành bất đẳng thức mới

Ta có thể viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng:

\[
1 < 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a}
\]

### Bước 4: Giải thích bất đẳng thức

Rõ ràng, phương trình trên là đúng vì \(b\) và \(c\) đều là các số dương. Vậy ta có:

\[
\frac{b}{a} + \frac{c}{a} > 0
\]

Từ đây, ta có thể kết luận rằng:

\[
1 < \frac{a}{a + b + c}
\]

### Kết luận

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh thành công:

\[
1 < \frac{a}{a + b + c}
\]

Khi \(a\), \(b\), và \(c\) đều lớn hơn 0.