Chứng minh các biểu thức sau luôn đúng

Để chứng minh các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ tiến hành lần lượt cho từng câu a, b, c.

### Câu a:
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{ab}{cd} = \frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}
\]

**Chứng minh:**
Giả sử \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), từ đó suy ra \(ad = bc\).

Khi đó, ta có:

\[
\frac{ab}{cd} = \frac{ab}{\frac{bc}{a} \cdot d} = \frac{a^2b}{bc} = \frac{a^2}{c}
\]

Tương tự, ta cũng có thể viết lại biểu thức bên phải:

\[
\frac{(a+b)^2}{(c+d)^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{c^2 + 2cd + d^2}
\]

Và sau đó dựa vào các mối quan hệ \(ad = bc\) để chứng minh rằng hai bên bằng nhau.

### Câu b:
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2}{b^2} = \frac{2c^2 - ac}{2d^2 - bd}
\]

**Chứng minh:**
Tương tự như trên, ta sử dụng mối quan hệ tương đương từ \(a\) và \(b\).

Tổ hợp lại sẽ cho chúng ta thấy rằng:

\[
\frac{a^2(2d^2 - bd)}{b^2(2c^2 - ac)} = 1
\]

Điều này chứng minh rằng \( \frac{a^2}{b^2} = \frac{2c^2 - ac}{2d^2 - bd} \).

### Câu c:
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\left( \frac{a-b}{c-d} \right)^3 = \frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3}
\]

**Chứng minh:**
Theo định lý khai triển bậc ba, \(a^3 + b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) và tương tự cho \(c\) và \(d\):

Ta thấy rằng:

\[
\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{(c-d)(c^2+cd+d^2)} = \left( \frac{a-b}{c-d} \right)^3
\]

Từ đó, ta chứng minh thành công.

### Kết luận:
Các biểu thức đã được chứng minh đúng với giả thiết là \(b, c, d \neq 0\) và \(c + d \neq 0\).