Để chứng minh các kết luận trong bài toán, trước tiên chúng ta sẽ phân tích hình vẽ cho tam giác ABC cân tại A, nơi \(AB = AC\) và \(H\) là chân của đường cao \(AH\) từ \(A\) đến cạnh \(BC\).

### a. Chứng minh rằng \(HB = HC\).

1. **Xét tam giác ABC:**
- Chúng ta có \(AB = AC\) vì tam giác ABC là tam giác cân tại A.

2. **Kẻ đường cao AH:**
- Do \(AH\) vuông góc với \(BC\), suy ra \(AH \perp BC\).

3. **Xét hai tam giác AHB và AHC:**
- Tam giác AHB và tam giác AHC có:
- \(AB = AC\) (điều kiện của tam giác cân)
- \(AH = AH\) (cạnh chung)
- \(\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ\) (hai tam giác có cùng một góc vuông tại H)

4. **Áp dụng tiêu chuẩn đồng dạng:**
- Vậy, theo tiêu chuẩn cạnh - cạnh - góc (c-c-g), ta có:
\[
\triangle AHB \cong \triangle AHC
\]
- Từ đó suy ra:
\[
HB = HC
\]

Kết luận: \(HB = HC\).

### b. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc BAC.

1. **Từ kết quả ở phần a:**
- Ta đã chứng minh \(HB = HC\).

2. **Xét quan hệ giữa các góc:**
- Trong tam giác ABC, với \(H\) nằm trên đoạn \(BC\), và \(AH\) là đường cao, ta có:
- \(\angle AHB = \angle AHC\)

3. **Công thức về phân giác:**
- Khi một đoạn thẳng (tại đây là \(AH\)) chia một góc thành hai góc bằng nhau thì đoạn thẳng đó là tia phân giác của góc đó.
- Vì \(HB = HC\) và \(AH\) vuông góc với cạnh \(BC\), ta suy ra rằng \(AH\) không chỉ kẻ một đường cao mà còn là tia phân giác của góc \(BAC\).

Kết luận: \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\).

### Tổng kết
- Chúng ta đã chứng minh được rằng: \(HB = HC\) và \(AH\) là tia phân giác của góc \(BAC\) trong tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).