Để chứng minh các yêu cầu đã nêu, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học trong tam giác.

**Giả thiết**: Xét tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) với \(AB = AC\). Qua \(B\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) (gọi là đường thẳng \(BE\)), và qua \(C\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\) (gọi là đường thẳng \(CF\)). Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm \(D\).

### Chứng minh \(BD = CD\)

1. **Chú ý về các tam giác**: Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(ACD\).
2. **Xét các cạnh**: Ta có:
- \(AB = AC\) (vì \(ABC\) là tam giác cân),
- \(BD\) vuông góc với \(AB\) (tính chất đường vuông góc),
- \(CD\) vuông góc với \(AC\) (tính chất đường vuông góc).

3. **Sử dụng tính chất tam giác vuông**:
- \(AD\) là chung cho cả hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\).
- Do đó, từ tính chất tam giác vuông và đối xứng, ta có thể nói rằng \(BD\) và \(CD\) là hai cạnh tương ứng tạo thành góc vuông với các cạnh của tam giác cân.

4. **Áp dụng định lý cạnh đối diện** (hoặc định lý Pythagore trong tam giác vuông):
- Ta có thể lập luận rằng góc \(ABD = 90^\circ\) và góc \(ACD = 90^\circ\) dẫn đến điều đó.

5. **Kết luận**: Từ các yếu tố và đặc tính đối xứng của tam giác cân, ta suy ra rằng:
\[
BD = CD
\]

### Chứng minh \(AD\) là đường trung trực của \(BC\)

1. **Xét điểm \(D\) trên đường trung trực**: Để chứng minh \(AD\) là đường trung trực của đoạn \(BC\), ta cần chứng minh rằng \(BD = CD\) và \(D\) nằm trên đường thẳng \(AD\) cắt \(BC\) tại điểm giữa.

2. **Sử dụng tính chất đối xứng**: Vì tam giác \(ABC\) là tam giác cân nên \(A\) đối xứng với \(B\) và \(C\) qua đường thẳng \(AD\).

3. **Đường trung trực**: Đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\) là tập hợp các điểm cách đều \(B\) và \(C\), vì đã chứng minh được \(BD = CD\), nên đường thẳng \(AD\) sẽ cắt đoạn thẳng \(BC\) tại điểm giữa.

4. **Kết luận**: Với \(BD = CD\) và \(AD\) cắt \(BC\) tại \(D\), ta chứng minh được rằng:
\[
AD \text{ là đường trung trực của } BC.
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh các yêu cầu cần thiết.