Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4, trước tiên ta cần tính giá trị của \( A \).

Ta có:

\[
A = 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2000}
\]

Đây là một chuỗi số hạng cấp số nhân với số hạng đầu \( a = 3 \) và tỷ lệ \( r = 3 \). Công thức tổng của một chuỗi cấp số nhân có \( n \) số hạng là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này, \( n = 2000 \) (số lượng số hạng là 2000, bắt đầu từ \( 3^1 \) đến \( 3^{2000} \), tức là có 2000 hạng) và ta có:

\[
A = 3 \frac{3^{2000} - 1}{3 - 1} = 3 \frac{3^{2000} - 1}{2}
\]

Vậy, ta có được:

\[
A = \frac{3(3^{2000} - 1)}{2}
\]

Tiếp theo, ta cần xem xét nếu \( A \) chia hết cho 4:

\[
A = \frac{3(3^{2000} - 1)}{2}
\]

Để \( A \) chia hết cho 4, cần phải kiểm tra \( 3(3^{2000} - 1) \) chia hết cho 8 (vì \( A \) có mẫu 2).

Đầu tiên, ta xét \( 3^{2000} - 1 \):

Theo định lý Fermat nhỏ, vì 2 là số nguyên tố, ta có:

\[
3^1 \equiv 1 \mod 2
\]

Từ đó, \( 3^{2000} \equiv 1^{2000} \equiv 1 \mod 2 \). Vậy:

\[
3^{2000} - 1 \equiv 0 \mod 2
\]

Tiếp theo, ta xem xét modulo 4:

\[
3^1 \equiv 3 \mod 4
\]
\[
3^2 \equiv 1 \mod 4
\]

Suy ra, cứ mỗi hai số hạng, ta đều có được mô hình lập lại. Do đó, với \( 2000 \) số hạng, \( 3^{2000} \) sẽ tuân theo quy tắc sau:

- Với \( n \) chẵn: \( 3^{2000} \equiv 1 \mod 4 \)

Do đó:

\[
3^{2000} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 4
\]

Vậy \( 3^{2000} - 1 \) chia hết cho 4. Như vậy:

\[
3(3^{2000} - 1) \equiv 3 \times 0 \equiv 0 \mod 4
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
A = \frac{3(3^{2000} - 1)}{2} \equiv 0 \mod 4
\]

Điều này có nghĩa là \( A \) chia hết cho 4.

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4.