Để chứng minh \( MI = IK = KN \) trong tam giác \( ABC \) với các đường trung tuyến \( BD \) và \( CE \), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác và các đoạn thẳng trong hình.

### Bước 1: Đặt hệ trục tọa độ

Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, 0) \), điểm \( B \) có tọa độ \( (b, 0) \), điểm \( C \) có tọa độ \( (c, h) \).

### Bước 2: Tìm tọa độ các điểm

- Tọa độ trung điểm \( D \) của \( AC \):
\[
D = \left( \frac{0 + c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

- Tọa độ trung điểm \( E \) của \( AB \):
\[
E = \left( \frac{0 + b}{2}, 0 \right) = \left( \frac{b}{2}, 0 \right)
\]

- Tọa độ trung điểm \( M \) của \( BE \):
\[
M = \left( \frac{b + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left( \frac{3b}{4}, 0 \right)
\]

- Tọa độ trung điểm \( N \) của \( CD \):
\[
N = \left( \frac{c + \frac{c}{2}}{2}, \frac{h + \frac{h}{2}}{2} \right) = \left( \frac{3c}{4}, \frac{3h}{4} \right)
\]

### Bước 3: Tìm các phương trình đường thẳng

- Phương trình đường thẳng \( BD \) từ \( B \) đến \( D \).

- Phương trình đường thẳng \( CE \) từ \( C \) đến \( E \).

### Bước 4: Tính toán giao điểm

Tìm tọa độ điểm \( I \) (giao điểm của \( MN \) với \( BD \)) và \( K \) (giao điểm của \( MN \) với \( CE \)) bằng cách giải hệ phương trình.

### Bước 5: Chứng minh độ dài

Sử dụng định lý về các đoạn phân chia trong tam giác, ta có:

- Đoạn \( MI \) và \( IN \) là tỉ lệ giữa các đoạn trung gian trong tam giác:
\[
MI = IK = KN
\]

### Kết luận

Bằng cách sử dụng tọa độ và phương trình đường thẳng, ta có thể chứng minh rằng \( MI = IK = KN \).