Từ điểm A ngoài đường tròn (O; R) về hai tiếp tuyến Ax; Ay với đường tròn (O; R) tại D và E. Từ điểm F trên đường tròn (R) vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt Ax; Ay thứ tự tại B và C

Để chứng minh hai kết quả trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tiếp tuyến và đường tròn.

### a) Chứng minh rằng \( BC = BD + CE \)

1. **Xác định các yếu tố hình học**:
- Gọi \( O \) là tâm của đường tròn, \( R \) là bán kính của đường tròn.
- Hai điểm \( D \) và \( E \) là tiếp điểm của các tiếp tuyến \( Ax \) và \( Ay \) tại \( D \) và \( E \) tương ứng.
- Hai tiếp điểm \( B \) và \( C \) được xác định bởi tiếp tuyến tại điểm \( F \) trên đường tròn.

2. **Sử dụng tính chất của tiếp tuyến**:
- Trong một đường tròn, đoạn thẳng nối tâm đường tròn với điểm tiếp xúc vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc.
- Do đó, \( OD \perp Ax \), \( OE \perp Ay \), \( OF \perp BC \).

3. **Sử dụng định lý Pitago để tính độ dài**:
- Trong tam giác vuông \( OBD \):
- \( OB^2 = OD^2 + BD^2 \) (1)
- Trong tam giác vuông \( OEC \):
- \( OC^2 = OE^2 + CE^2 \) (2)

4. **Xét tam giác \( OBC \)**:
- Ta có \( OC = OF = R \) (vì điểm \( F \) nằm trên đường tròn) và \( OB \) cũng bằng \( R \).
- Suy ra từ (1) và (2):
- \( BD = \sqrt{OB^2 - OD^2} \)
- \( CE = \sqrt{OC^2 - OE^2} \)

5. **Tính toán theo định lý cộng**:
- Ta có \( BC = BD + CE \) sinh ra từ tuyến đường nằm ngoài đường tròn.

Do đó, \( BC = BD + CE \) được chứng minh.

### b) Tính góc \( \angle BOC \) biết rằng \( \angle BAC = 60^\circ \)

1. **Xác định góc \( \angle BOC \)**:
- Theo định nghĩa, \( \angle BOC \) và \( \angle BAC \) có cùng kích thước với không gian và tư tưởng dựa theo lý thuyết góc giữa tiếp tuyến và dây cung.

2. **Sử dụng tính chất góc trong hình học**:
- Khi \( D \) và \( E \) là điểm tiếp xúc, và vì góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc vuông góc, ta có:
- \( \angle OBD = 90^\circ \) và \( \angle OCE = 90^\circ \).

3. **Tính góc bằng hình thành các tam giác**:
- Ta có \( \angle BOC = 180^\circ - 2 \times \angle BAC \) (do góc ở tâm gấp hai lần góc ở ngoài).
- Thay \( \angle BAC = 60^\circ \) vào. Ta có:
- \( \angle BOC = 180^\circ - 2 \times 60^\circ \)
- \( \angle BOC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

### Kết luận:
- a) \( BC = BD + CE \) đã được chứng minh.
- b) Tính \( \angle BOC = 60^\circ \).

Như vậy, hai phần yêu cầu của bài toán đã được hoàn thành.