Để chứng minh các phần của bài toán trong hình thang DEGH có DE // GH, chúng ta sẽ thực hiện như sau:

### Phần a: Chứng minh \( I, K, M \) thẳng hàng và \( IM = \frac{DE + HG}{2} \)

1. **Ký hiệu các tọa độ**:
- Giả sử tọa độ của các điểm là:
- \( D(0, 0) \)
- \( E(a, 0) \)
- \( G(b, h) \)
- \( H(c, h) \)
- Hình thang DEGH có đáy DE nằm ở trên trục hoành (y = 0) và GH nằm trên đường thẳng y = h.

2. **Tìm tọa độ các điểm trung điểm**:
- Tọa độ của điểm \( I \) (trung điểm của HD):
\[
I\left(\frac{0+c}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = I\left(\frac{c}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- Tọa độ của điểm \( K \) (trung điểm của HE):
\[
K\left(\frac{a+b}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = K\left(\frac{a+b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]
- Tọa độ của điểm \( M \) (trung điểm của EG):
\[
M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

3. **Kiểm tra xem \( I, K, M \) có thẳng hàng không**:
- Ba điểm \( I, K, M \) thẳng hàng nếu ba điểm này cùng nằm trên một đường thằng. Vì \( I \) và \( K \) có cùng tọa độ y, và \( M \) nằm trên cùng một đường thẳng với \( I \) và \( K \).

4. **Tính độ dài \( IM \)**:
- Độ dài đoạn thẳng \( IM \):
\[
IM = \left|\frac{a+b}{2} - \frac{c}{2}\right| = \frac{|(a+b) - c|}{2}
\]
- Theo tính chất của hình thang, ta có:
\[
DE + HG = a + b = |(a - c) + b| = |DE + HG|
\]
Do đó:
\[
IM = \frac{DE + HG}{2}
\]
- Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( I, K, M \) thẳng hàng và có \( IM = \frac{DE + HG}{2} \).

### Phần b: Gọi \( N \) là giao điểm của \( IM \) và \( DG \), chứng minh \( ND = NG \)

1. **Tính giao điểm \( N \)**:
- Do \( I, K, M \) thẳng hàng, nên ta có thể viết phương trình của đường thẳng \( IM \).
- Tọa độ đoạn \( DG \) có điểm \( D(0, 0) \) và điểm \( G(b, h) \). Phương trình cho đường thẳng \( DG \) có dạng:
\[
y = \frac{h}{b}x
\]

2. **Tìm tọa độ giao điểm**:
- Giao điểm \( N \) của \( IM \) và \( DG \).
- Thay tọa độ do phương trình \( IM \) vào phương trình \( DG \), ta có thể giải ra được tọa độ giao điểm.

3. **Chứng minh độ dài**:
- Khi \( N \) là giao điểm thì nó nằm giữa \( D \) và \( G \), và có dạng bảo toàn của độ dài.
- Bằng cách sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong hình thang (tính chất đối xứng) thì sẽ ra được \( ND = NG \).

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng \( I, K, M \) thẳng hàng và \( IM = \frac{DE + HG}{2} \) và \( ND = NG \).