Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = |x| + 3|x| + |x+1| \), trước hết chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức \( A \):

\[
A = 4|x| + |x+1|
\]

Tiếp theo, chúng ta cần xem xét \( |x+1| \) theo các trường hợp dựa trên giá trị của \( x \).

1. **Trường hợp 1:** \( x \geq -1 \)
- Khi đó \( |x+1| = x + 1 \).
- Biểu thức trở thành:
\[
A = 4|x| + (x + 1) = 4x + (x + 1) = 5x + 1 \quad \text{(nếu } x \geq 0\text{)}
\]
\[
A = 4(-x) + (x + 1) = -4x + (x + 1) = -3x + 1 \quad \text{(nếu } -1 \leq x < 0\text{)}
\]

2. **Trường hợp 2:** \( x < -1 \)
- Khi đó \( |x+1| = -(x+1) = -x - 1 \).
- Biểu thức trở thành:
\[
A = 4(-x) + (-x - 1) = -4x - x - 1 = -5x - 1
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ khảo sát các biểu thức đã tìm được để tìm giá trị nhỏ nhất:

- **Cho \( x \geq 0 \):** \( A = 5x + 1 \) có giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại \( x = 0 \).
- **Cho \( -1 \leq x < 0 \):** \( A = -3x + 1 \). Khi \( x \) tiến gần tới 0, \( A \) tiến gần tới 1. Tại \( x = -1 \), \( A = -3(-1) + 1 = 4 \).
- **Cho \( x < -1 \):** \( A = -5x - 1 \) là một hàm số tăng, do đó giá trị nhỏ nhất nằm tại điểm biên \( x = -1 \), tại đó \( A = -5(-1) - 1 = 4 \).

### Kết luận:
Từ các phép khảo sát trên, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) xảy ra ở \( x = 0 \), với giá trị nhỏ nhất:

\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } A \text{ là } 1.
\]