Bác An trồng cây ăn quả được mùa nên cuối vụ bác An tiết kiệm được 30 triệu đồng. Bác An gửi số tiền trên vào ngân hàng X theo hình thức lãi kép. Sau 2 năm, bác rút cả vốn lẫn lãi được 33,075 triệu đồng. Nếu bác An gửi số tiền 400 triệu đồng vào ngân hàng X theo lãi suất đó thì sau bao nhiêu năm bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là 463,05 triệu đồng?

Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định lãi suất ngân hàng mà bác An nhận được từ số tiền 30 triệu đồng sau 2 năm. Ta biết rằng sau 2 năm, số tiền này trở thành 33,075 triệu đồng.

### Bước 1: Tính lãi suất

Sử dụng công thức lãi kép:

\[
A = P(1 + r)^n
\]

Trong đó:
- \( A \) là số tiền sau n năm (33,075 triệu đồng)
- \( P \) là số tiền gốc (30 triệu đồng)
- \( r \) là lãi suất hàng năm
- \( n \) là số năm (2 năm)

Thay vào công thức, ta có:

\[
33,075 = 30(1 + r)^2
\]

Chia cả hai bên cho 30:

\[
1.1025 = (1 + r)^2
\]

Để tìm \( 1 + r \), ta lấy căn bậc 2 cả hai bên:

\[
1 + r = \sqrt{1.1025}
\]

Tính toán giá trị:

\[
\sqrt{1.1025} \approx 1.05
\]

Vậy:

\[
r \approx 0.05 \text{ hay } 5\%
\]

### Bước 2: Tính thời gian để đạt được 463,05 triệu đồng

Bây giờ, bác An gửi 400 triệu đồng vào ngân hàng X với lãi suất 5%. Ta muốn tìm thời gian \( n \) sao cho tổng tiền là 463,05 triệu đồng.

Sử dụng lại công thức lãi kép:

\[
463,05 = 400(1 + 0.05)^n
\]

Chia cả hai bên cho 400:

\[
1.157625 = (1.05)^n
\]

Để tìm \( n \), ta lấy logarit cả hai bên:

\[
\log(1.157625) = n \log(1.05)
\]

Tính giá trị \( \log(1.157625) \) và \( \log(1.05) \):

\[
\log(1.157625) \approx 0.069
\]
\[
\log(1.05) \approx 0.0212
\]

Bây giờ thay vào phương trình để tính \( n \):

\[
n \approx \frac{0.069}{0.0212} \approx 3.25
\]

### Kết luận

Bác An cần khoảng **3,25 năm** để số tiền 400 triệu đồng trở thành 463,05 triệu đồng với lãi suất 5% mỗi năm.