Để tính giá trị biểu thức

\[
\frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} + \frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}}
\]

Chúng ta sẽ tính từng phần một.

### Phần 1: Tính \(\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}\)

Gọi \( x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \).

Tính \( y = \sqrt{2 + \sqrt{3}} \):

\[
y = \sqrt{2 + \sqrt{3}}
\]

Để tính ra giá trị của \( y \):

\[
\sqrt{3} \approx 1.732 \implies 2 + \sqrt{3} \approx 3.732
\]

Bây giờ tính \( y \):

\[
y \approx \sqrt{3.732} \approx 1.93
\]

Đưa \( y \) vào:

\[
x = \sqrt{2 + y} \approx \sqrt{2 + 1.93} = \sqrt{3.93} \approx 1.98
\]

### Phần 2: Tính \(\sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{3}}}\)

Gọi \( z = \sqrt{2 - \sqrt{2 - \sqrt{3}}} \).

Tính \( w = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \):

\[
w = \sqrt{2 - \sqrt{3}}
\]

Chánh xác hơn, tính \( 2 - \sqrt{3} \):

\[
2 - \sqrt{3} \approx 0.268 \implies w \approx \sqrt{0.268} \approx 0.52
\]

Đưa \( w \) vào:

\[
z = \sqrt{2 - w} \approx \sqrt{2 - 0.52} = \sqrt{1.48} \approx 1.22
\]

### Tính biểu thức:

Cuối cùng, ta thay vào biểu thức ban đầu:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{z} \approx \frac{1}{1.98} + \frac{1}{1.22}
\]

Tính giá trị gần đúng:

\(\frac{1}{1.98} \approx 0.505\) và \(\frac{1}{1.22} \approx 0.819\).

Cộng lại:

\[
0.505 + 0.819 \approx 1.324
\]

### Kết luận:

Giá trị gần đúng của biểu thức là khoảng \(1.324\).