Để tính giá trị biểu thức \((5 + 2\sqrt{6})(49 - 20\sqrt{6})\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\), ta sẽ thực hiện từng bước một.

1. **Tính \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)**:
- Ta nhận thấy rằng \(5 - 2\sqrt{6}\) có thể được viết lại dưới dạng bình phương:
\[
5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2
\]
- Thử với \(a = 3\) và \(b = 1\):
\[
(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}
\]
- Không chính xác. Thử với \(a = 4\) và \(b = 0\):
\[
(\sqrt{4} - \sqrt{0})^2 = 4
\]
- Nghĩa là \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1\).

2. **Tính \((5 + 2\sqrt{6})(49 - 20\sqrt{6})\)**:
\[
= 5 \times 49 - 5 \times 20\sqrt{6} + 2\sqrt{6} \times 49 - 2\sqrt{6} \times 20\sqrt{6}
\]
\[
= 245 - 100\sqrt{6} + 98\sqrt{6} - 240
\]
\[
= 5 - 2\sqrt{6}
\]

3. **Cuối cùng, nhân với \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)**:
\[
(5 - 2\sqrt{6})(\sqrt{3} - 1)
\]
Tính toán:
\[
= 5\sqrt{3} - 5 - 2\sqrt{6}\sqrt{3} + 2\sqrt{6}
\]
\[
= 5\sqrt{3} - 5 + 2(\sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3})
\]

Kết quả cuối cùng là giá trị của biểu thức.