Để giải phương trình \( x^3 + 18x^2 + 108x + 216 = 27 \), ta sẽ đưa mọi hạng tử về một bên:

\[
x^3 + 18x^2 + 108x + 216 - 27 = 0
\]

Tức là:

\[
x^3 + 18x^2 + 108x + 189 = 0
\]

Giờ, chúng ta sẽ xét đa thức \( f(x) = x^3 + 18x^2 + 108x + 189 \). Để tìm số nghiệm, ta có thể sử dụng định lý về số nghiệm của đa thức bậc 3:

1. Tính đạo hàm \( f'(x) \):

\[
f'(x) = 3x^2 + 36x + 108
\]

2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):

Giải phương trình bậc 2 \( 3x^2 + 36x + 108 = 0 \):

\[
b^2 - 4ac = 36^2 - 4 \cdot 3 \cdot 108 = 1296 - 1296 = 0
\]

Vì \( \Delta = 0 \), phương trình có đúng một nghiệm:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{36}{2 \cdot 3} = -6
\]

3. Tính giá trị của \( f(-6) \):

\[
f(-6) = (-6)^3 + 18(-6)^2 + 108(-6) + 189
\]
\[
= -216 + 18 \cdot 36 - 648 + 189
\]
\[
= -216 + 648 - 648 + 189 = -216 + 189 = -27
\]

Do \( f(-6) < 0 \) và \( f(x) \) là một hàm bậc 3 với hệ số dẫn đầu dương, nên hàm số sẽ cắt trục hoành tại ít nhất 1 điểm bên trái \( -6 \) và 1 điểm bên phải \( -6 \).

Vậy, phương trình có 3 nghiệm (1 nghiệm ở bên trái -6 và 2 nghiệm ở bên phải -6).

**Kết luận:**
Số giá trị của \( x \) thỏa mãn đẳng thức trên là **3**.