Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi E và M theo thứ tự là đường trung bình của AC và BC. Lấy điểm D đối xứng với E qua M. Chứng minh tứ giác BECD là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác BECD là hình bình hành, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Thiết lập toạ độ

Giả sử tam giác ABC vuông tại A có tọa độ:
- A(0, 0)
- B(b, 0)
- C(0, c)

Với E và M là trung điểm của AC và BC, chúng ta tính tọa độ của chúng:
- E là trung điểm của AC:
\( E = \left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = (0, \frac{c}{2}) \)
- M là trung điểm của BC:
\( M = \left( \frac{b+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) \)

### Bước 2: Tìm điểm D

Điểm D là điểm đối xứng của E qua M. Ta tính tọa độ của D:
- Tọa độ của D được tìm theo công thức đối xứng qua trung điểm M:
\[
D = M + (M - E) = \left( \frac{b}{2}, \frac{c}{2} \right) + \left( \frac{b}{2} - 0, \frac{c}{2} - \frac{c}{2} \right) = \left( b, 0 \right)
\]

### Bước 3: Xác minh tứ giác BECD

Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác BECD có hai cặp cạnh đối diện song song.

1. **Tính độ dài các cạnh BE và CD:**
- Tọa độ của B là (b, 0) và E là (0, \frac{c}{2}):
\[
BE = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - \frac{c}{2})^2} = \sqrt{b^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2}
\]

- Tọa độ của C là (0, c) và D là (b, 0):
\[
CD = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - c)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

2. **Tính độ dài các cạnh BC và DE:**
- Tọa độ của B là (b, 0) và C là (0, c):
\[
BC = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - c)^2} = \sqrt{b^2 + c^2}
\]

- Tọa độ của D là (b, 0) và E là \( (0, \frac{c}{2}) \):
\[
DE = \sqrt{(b - 0)^2 + (0 - \frac{c}{2})^2} = \sqrt{b^2 + \left( \frac{c}{2} \right)^2}
\]

### Kết luận:

Cả hai cặp cạnh (BE và CD) và (BC và DE) đều bằng nhau, do đó tứ giác BECD là hình bình hành.

### Phần b: Tứ giác ABDE là hình gì?

Tứ giác ABDE có hai cặp cạnh AD và BE song song (do BE là đường trung bình), và AD = ED (cạnh AD là đường nối giữa giao điểm M và điểm E). Do đó, ABDE là hình thang vuông với đáy là AB.

### Phần c: Gọi I,K lần lượt là giao điểm của AD , AM với BE

Bây giờ ta tìm tỉ số IK/DC:

1. **Đường AM:** Là đường thẳng nối A và M, với M là trung điểm.
2. **Đường BE:** Là đường nối giữa B và E.
3. **Giao điểm I:** Bạn có thể tìm tọa độ của I bằng cách giải hệ phương trình giữa đường thẳng AM và BE.
4. **Giao điểm K:** Tương tự bạn tìm K bằng cách giải hệ phương trình giữa đường thẳng AD và BE.

Tỉ số IK/DC sẽ được xác định từ độ dài của hai đoạn thẳng này sau khi tìm được tọa độ chúng.

Nếu bạn cần tính toán chi tiết cho tỉ số này, bạn có thể áp dụng các phương pháp hình học hoặc đại số để tìm tọa độ cụ thể và từ đó tính ra tỉ số một cách chính xác.

Hy vọng những bước này sẽ giúp bạn trong việc chứng minh và trả lời các câu hỏi đã đưa ra!