Để giải hệ phương trình với các điều kiện đã cho, ta sẽ thực hiện như sau:

### 1. Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 1 \\
x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 4
\end{cases}
\]

### 2. Điều kiện:
\[
0 \leq x \leq y \leq z \leq 1 \text{ và } 3x + 2y + z \leq 4
\]

### 3. Biến đổi phương trình:
Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn \( z \) theo \( x \) và \( y \):
\[
z = 1 - x - y
\]

### 4. Thay \( z \) vào phương trình thứ hai:
Thay giá trị của \( z \) vào phương trình thứ hai:
\[
x^2 + 2y^2 + 3(1 - x - y)^2 = 4
\]
Giải phương trình này sẽ cho bạn các giá trị của \( x \) và \( y \).

### 5. Giải phương trình:
- Mở rộng và đơn giản hóa phương trình trên:
\[
x^2 + 2y^2 + 3(1 - 2x - 2y + x^2 + 2xy) = 4
\]

### 6. Thủ tục tìm cực trị:
Để tìm giá trị lớn nhất của \( x \), bạn có thể sử dụng các phương pháp tối ưu hóa như phương pháp Lagrange hoặc phương pháp thử nghiệm với các ràng buộc để giảm thiểu hoặc cực đại hóa.

### 7. Kiểm tra điều kiện:
Sau khi tìm giá trị của \( x, y, z \), bạn cần kiểm tra các điều kiện đã cho để đảm bảo rằng các giá trị đó nằm trong khoảng và thỏa mãn các ràng buộc.

### Kết luận:
Sau khi thực hiện các bước trên, bạn sẽ có được các giá trị của \( x, y, z \) thỏa mãn cả hệ phương trình và các điều kiện đã cho.