Để tính xác suất của thí sinh sau khi hoàn thành bài thi 10 câu hỏi, chúng ta cần xét đến các trường hợp có thể xảy ra.

Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, và chỉ có 1 phương án đúng. Khi thí sinh chọn ngẫu nhiên:

- Xác suất trả lời đúng (được 4 điểm) là \(\frac{1}{4}\).
- Xác suất trả lời sai (bị trừ 1 điểm) là \(\frac{3}{4}\).

Gọi \(X\) là số câu trả lời đúng. Khi đó, \(X\) tuân theo phân phối nhị phân với:

- Số lần thử: \(n = 10\)
- Xác suất thành công: \(p = \frac{1}{4}\)

Giá trị kỳ vọng của \(X\) là:

\[
E(X) = n \cdot p = 10 \cdot \frac{1}{4} = 2.5
\]

Điểm số \(D\) của thí sinh sẽ được tính bằng công thức:

\[
D = 4X - (10 - X) = 5X - 10
\]

### a) Để có kết quả 15 điểm:

Giải phương trình:

\[
5X - 10 = 15 \Rightarrow 5X = 25 \Rightarrow X = 5
\]

Ta cần tìm xác suất có 5 câu đúng:

\[
P(X = 5) = C(10, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{5}
\]

Tính toán cụ thể:

\[
C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} = 252
\]

Do đó:

\[
P(X = 5) = 252 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 \approx 252 \cdot \frac{1}{1024} \cdot \frac{243}{1024}
\]

### b) Để có kết quả âm:

Điểm sẽ âm khi:

\[
5X - 10 < 0 \Rightarrow 5X < 10 \Rightarrow X < 2
\]

Ta cần tính xác suất \(X = 0\) và \(X = 1\):

1. **Trường hợp \(X = 0\)**:

\[
P(X = 0) = C(10, 0) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{10}
\]

2. **Trường hợp \(X = 1\)**:

\[
P(X = 1) = C(10, 1) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{9} = 10 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{9}
\]

Tính tổng:

\[
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)
\]

Sau khi tính, ta sẽ có xác suất cho cả hai trường hợp.