Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2+d^2=2024^2023. Chứng minh a+b+c+d là hợp số

Để chứng minh rằng \( a + b + c + d \) là một hợp số, trước tiên ta có thể phân tích số \( 2024^{2023} \).

Ta bắt đầu với việc phân tích \( 2024 \):
\[
2024 = 2^2 \times 3 \times 13
\]
Bình phương lên, ta có:
\[
2024^2 = (2^2 \times 3 \times 13)^2 = 2^4 \times 3^2 \times 13^2
\]
Tiếp theo tính bình phương lên \( 2024^{2023} \):
\[
2024^{2023} = (2^2 \times 3 \times 13)^{2023} = 2^{4046} \times 3^{2023} \times 13^{2023}
\]

Số lượng số hạng của \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 2024^{2023} \) cho phép bốn số nguyên dương \( a, b, c, d \). Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a + b + c + d)^2
\]

Từ đây ta có:
\[
4(a^2 + b^2 + c^2 + d^2) \geq (a + b + c + d)^2
\]
Hay
\[
(a + b + c + d)^2 \leq 4 \times 2024^{2023}
\]

Lấy căn hai của cả hai vế, ta có:
\[
a + b + c + d \leq 2 \sqrt{2024^{2023}} = 2 \times 2024^{1011.5}
\]
Điều này cho thấy \( a + b + c + d \) là số nguyên.

Tiếp theo, ta tính tổng \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \) modulo 4:

Bất kỳ số nguyên dương nào bình phương sẽ có kết quả:
- Nếu số lẻ: \( x^2 \equiv 1 \,(\text{mod}\, 4) \)
- Nếu số chẵn: \( x^2 \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \)

Ta biết rằng \( 2024^{2023} \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \) (tại vì \( 2024 \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \)). Do đó, tổng \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \).

Ta sử dụng các trường hợp khả thi cho \( a, b, c, d \):
1. Nếu tất cả đều chẵn: Tổng \( a + b + c + d \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \) → Hợp số.
2. Nếu có 2 số lẻ và 2 số chẵn: Tổng \( a + b + c + d \equiv 2 \,(\text{mod}\, 4) \) → Hợp số.
3. Nếu có 1 số lẻ và 3 số chẵn: Tổng \( a + b + c + d \equiv 1 \,(\text{mod}\, 4) \) → Không hợp số.

Tuy nhiên, khi xét \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \equiv 0 \,(\text{mod}\, 4) \) thì không thể có trường hợp với 1 số lẻ, vì điều này sẽ không cho tổng là 0 mod 4. Do đó, sẽ không có trường hợp hợp lệ cho \( a + b + c + d \) là số nguyên dương lẻ.

Từ những phân tích trên, ta khẳng định được rằng \( a + b + c + d \) chắc chắn là một hợp số.

Kết luận, \( a + b + c + d \) là hợp số.