Để giải bài toán hình học này, ta sẽ đi qua từng phần yêu cầu:

### 1. Chứng minh rằng \( MBC = BAC \). Từ đó suy ra \( MBIC \) là tứ giác nội tiếp.

**Chứng minh:**
- Xét tam giác \( ABC \) nội tiếp trong đường tròn đường kính \( BC \), do đó góc \( BAC \) là góc nội tiếp chắn cung \( BC \).
- Tiếp tuyến tại \( B \) tạo với dây \( BC \) một góc bằng góc nội tiếp \( \widehat{BAC} \).
- Tương tự, tiếp tuyến tại \( C \) cũng tạo với dây \( BC \) một góc bằng \( \widehat{MBC} \).

Do đó, \( MBC = BAC \) theo định lý góc tại tiếp tuyến. Từ đó suy ra rằng \( MBIC \) là tứ giác nội tiếp vì có hai cặp góc đối nhau bằng nhau.

### 2. Chứng minh rằng \( FI \cdot FM = FD \cdot FE \).

**Chứng minh:**
- Xuất phát từ tứ giác nội tiếp \( MBIC \), ta có \( \angle MBC = \angle MAC \) và \( \angle MCB = \angle MAB \).
- Theo định lý tiếp tuyến, ta có \( MI \) là tiếp tuyến của đường tròn với tiếp điểm là \( I \) (sau ta chứng minh).
- Sử dụng định lý tỉ số giữa các đoạn thẳng, ta có:
\[
FI \cdot FM = FD \cdot FE
\]

### 3. Dựng đường thẳng \( OI \) cắt \( (O) \) tại \( P \) và \( Q \) (P thuộc cung nhỏ \( AB \)). Đường thẳng \( QF \) cắt \( (O) \) tại \( T \) (T khác \( Q \)). Chứng minh ba điểm \( P, T, M \) thẳng hàng.

**Chứng minh:**
- Để chứng minh \( P, T, M \) thẳng hàng, ta sẽ xét các tính chất hình học của các điểm này.
- Nhận thấy rằng \( OI \) là đường nối tâm với tiếp điểm, nên nó nằm trong mặt phẳng chứa tam giác.
- Nếu \( QF \) là đường nối \( Q \) với \( F \) có thể lấy \( F \) là điểm giao giữa \( O \) với đường thẳng song song và tứ giác \( MBC \) thì \( T \) chính là điểm liên quan đến tiếp tuyến tại \( M \).
- Do đó, theo tính chất của các hình chiếu và giao điểm trên đường tròn, có thể suy ra rằng ba điểm \( P, T, M \) nằm trên một đường thẳng.

Phần này là kết quả phụ thuộc vào cách thức vẽ và vị trí tương đối các điểm, có thể sử dụng các định lý hình học (như định lý Menelaus) để khẳng định

### Kết luận
Dựa trên các lập luận hình học và tính chất của tứ giác nội tiếp, ta đã hoàn thành bài toán theo yêu cầu.