Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Gọi d là đường thẳng bất kì đi qua A và cắt BC tại M. Kẻ BH vuông d tại H, CK vuông d tại K. Chứng minh tam giác BHA = tam giác AKC

Để chứng minh rằng tam giác \(BHA\) và tam giác \(AKC\) là bằng nhau, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các hình dạng đã cho.

**Bước 1: Vẽ hình**

Đầu tiên, ta vẽ tam giác vuông \(ABC\) với \(A\) là điểm vuông góc. Ta có \(AB = AC\) và \(BC\) là cạnh huyền. Gọi \(d\) là đường thẳng bất kỳ đi qua \(A\) và cắt \(BC\) tại điểm \(M\).

Tiếp theo, ta kẻ đường vuông góc từ \(B\) đến \(d\) và điểm vuông góc này là \(H\). Tương tự, từ \(C\) ta kẻ đường vuông góc đến \(d\) để có điểm \(K\).

**Bước 2: Sử dụng Các Đặc Điểm của Tam giác Vuông**

1. **Tính chất của tam giác vuông:**
- Tam giác \(BHA\) là tam giác vuông tại \(H\) (do \(BH \perp d\)).
- Tam giác \(AKC\) là tam giác vuông tại \(K\) (do \(CK \perp d\)).

2. **Chứng minh hai tam giác có độ dài tương ứng bằng nhau:**
- Ta có \(AH = AH\) (cạnh chung).
- Do \(AB = AC\), và ta có thể áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông:
\[
BH^2 + AH^2 = AB^2 \quad (1)
\]
\[
CK^2 + AK^2 = AC^2 \quad (2)
\]
Từ đây, \(AB = AC\) sẽ dẫn đến các cạnh tương ứng là bằng nhau.

3. **Chứng minh hai góc bằng nhau:**
- Ta có góc \(BHA = 90^\circ\) (góc vuông).
- Tương tự, góc \(AKC = 90^\circ\).

Từ các thông tin trên, ta có:

- \(AB = AC\)
- \(AH = AK\) (cạnh chung)
- \(BH \perp d\) và \(CK \perp d\)

**Kết luận:**

Từ các yếu tố trên, chúng ta khẳng định rằng tam giác \(BHA\) và tam giác \(AKC\) là hai tam giác vuông có hypotenuse bằng nhau và một cạnh bằng nhau, do đó:
\[
\triangle BHA \cong \triangle AKC
\]

Và ta đã chứng minh được yêu cầu đề bài.