Để chứng minh \( AC^2 = 2CF \cdot BC \), chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về hình học.

1. **Đặt các điểm**: Gọi các điểm tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(b, 0) \)
- \( C(0, c) \)

Do đó, chúng ta có:
- \( AC = c \)
- \( AB = b \)
- \( BC = \sqrt{b^2 + c^2} \)

2. **Tìm tọa độ E**: E là trung điểm của AC. Tọa độ của E sẽ là:
\[
E\left( \frac{0+0}{2}, \frac{0+c}{2} \right) = \left( 0, \frac{c}{2} \right)
\]

3. **Tìm phương trình của BC**: Đoạn thẳng BC có độ dốc là \( -\frac{c}{b} \). Phương trình của BC có dạng:
\[
y - c = -\frac{c}{b}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{c}{b}x + c
\]

4. **Tìm phương trình của EF**: EF vuông góc với BC, nên độ dốc của EF sẽ là \( \frac{b}{c} \). Do E có tọa độ \(\left( 0, \frac{c}{2} \right)\), phương trình của EF sẽ là:
\[
y - \frac{c}{2} = \frac{b}{c}(x - 0) \Rightarrow y = \frac{b}{c}x + \frac{c}{2}
\]

5. **Giải hệ phương trình để tìm F**: Để tìm tọa độ điểm F (giao điểm của BC và EF), ta giải hệ phương trình:
\[
-\frac{c}{b}x + c = \frac{b}{c}x + \frac{c}{2}
\]
Nhân cả hai phương trình với \( bc \) để loại bỏ phân số:
\[
-c^2x + bc^2 = b^2x + \frac{bc}{2}
\]
Thay đổi về hình thức:
\[
(b^2 + c^2)x = bc^2 - \frac{bc}{2} \Rightarrow (b^2 + c^2)x = \frac{1}{2}bc
\]
Do đó,
\[
x = \frac{bc}{2(b^2 + c^2)}
\]

6. **Tìm y từ x**: Thay x vào phương trình BC:
\[
y = -\frac{c}{b}\left( \frac{bc}{2(b^2 + c^2)} \right) + c
\]
\[
= c - \frac{c^2}{2(b^2 + c^2)} = \frac{2c(b^2 + c^2) - c^2}{2(b^2 + c^2)} = \frac{2cb^2 + c^2}{2(b^2 + c^2)}
\]

7. **Tính CF**: Độ dài CF có thể tính như sau:
\[
CF = c - y = c - \frac{2cb^2 + c^2}{2(b^2 + c^2)} = \frac{2c(b^2 + c^2) - (2cb^2 + c^2)}{2(b^2 + c^2)} = \frac{c^2}{2(b^2 + c^2)}
\]

8. **Tính AC^2**: Để hoàn thành chứng minh, ta tính:
\[
AC^2 = c^2
\]

9. **Tính 2CF.BC**:
\[
BC = \sqrt{b^2 + c^2}
\]
\[
2CF \cdot BC = 2 \cdot \frac{c^2}{2(b^2+c^2)} \cdot \sqrt{b^2+c^2} = \frac{c^2 \sqrt{b^2+c^2}}{b^2+c^2}
\]

Chúng ta có \( b^2 + c^2 = BC^2 \), để thấy rằng \( AC^2 = 2CF \cdot BC \).

Do đó, đã chứng minh được rằng:
\[
AC^2 = 2CF \cdot BC
\]

Hoàn tất bài toán.