Để chứng minh các tỉ lệ trong hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD, ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh \( \frac{MA}{AD} = \frac{NB}{BC} \)

Xét tứ giác AMNB, ta có AB // MN. Theo định lý về tỉ số đoạn cắt bởi một đường thẳng song song, ta có:

\[
\frac{MA}{AD} = \frac{MB}{BN}
\]

Tương tự, vì AB // MN nên:

\[
\frac{MB}{BC} = \frac{MA}{AD}
\]

Do đó:

\[
\frac{MA}{AD} = \frac{NB}{BC}
\]

### b) Chứng minh \( \frac{MA}{MD} = \frac{NB}{NC} \)

Xét tam giác ADM và BCN, ta sẽ áp dụng định lý tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của tam giác với tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng cắt.

Từ AB // MN, ta có:

\[
\frac{MA}{MD} = \frac{MB}{BN}
\]

Cùng với điều đó, ta có:

\[
\frac{NB}{NC} = \frac{MB}{BN}
\]

Vì thế:

\[
\frac{MA}{MD} = \frac{NB}{NC}
\]

### c) Chứng minh \( \frac{MD}{DA} = \frac{NC}{CB} \)

Đối với tứ giác MDNC, ta lại có AB // MN. Từ điều này, ta cũng áp dụng định lý tỉ lệ giữa các đoạn.

Áp dụng định lý, ta có:

\[
\frac{MD}{DA} = \frac{MN}{NC}
\]

Và do AB // CD:

\[
\frac{NC}{CB} = \frac{MN}{AB}
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
\frac{MD}{DA} = \frac{NC}{CB}
\]

Vậy là đã chứng minh xong cả 3 tỉ lệ trên trong hình thang ABCD.