Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ làm theo từng câu một.

### a) Chứng minh EA = EC.

**Giả thiết:**
- Đặt \( MA = b \) và \( MC = b \).
- Ta có \( EA = EC \) nếu chứng minh điểm E nằm trên đường tròn đường kính AC.

**Chứng minh:**
1. Từ điều kiện đã cho, ta biết \( MA = MC \) nên hình thành nên một tam giác cân tại M, tức là \( \angle AME = \angle CME \).
2. Vì tia phần giác AMB cắt cạnh AB tại E, suy ra \( \angle AEM + \angle CEM = \angle ACB = 90^\circ \).
3. Bởi vì \( MA = MC \) và \( \angle AME = \angle CME \), nghĩa là tam giác \( AEM \) và \( CEM \) có các cạnh góc và cạnh tương ứng bằng nhau, từ đó có:
\[
EA = EC
\]

### b) Chứng minh ΔAEF = ΔCEB.

**Giả thiết:**
- Tia EM cắt CE tại F.

**Chứng minh:**
1. Từ giả thiết đã có, \( EA = EC \) (từ câu a).
2. Ta đã chứng minh rằng \( MA = MC \), tức là \( ME = ME \) (chung một đoạn).
3. Đối diện với góc, ta có \( \angle AEF = \angle CEB \), do đó:
\[
\text{Tam giác AEF và tam giác CEB có:} \\
EA = EC, \quad ME = ME, \quad \angle AEF = \angle CEB
\]
4. Suy ra, theo các yếu tố tương ứng, ta có hai tam giác tương ứng là đồng dạng (chứng minh bằng quy tắc cạnh-góc-cạnh).
5. Vì vậy, ta có:
\[
ΔAEF = ΔCEB
\]

### c) Gọi H là trung điểm của FB. Chứng minh BA, FC, MH cùng đi qua một điểm.

**Chứng minh:**
1. Theo giả thiết, H là trung điểm của FB.
2. Dễ dàng thấy rằng \( A, F, C \) thuộc đường thẳng.
3. Suy ra đoạn thẳng BA cắt đoạn FC tại H.
4. Ta có:
\[
AH = HB \quad \text{và} \quad FH = HC \text{ (do H là trung điểm)}
\]
5. Do đó, bài toán có thể được chứng minh qua các yếu tố hình học cho thấy rằng \( BA, FC, MH \) cắt nhau tại H.
6. Kết hợp các định lý hình học, ta có thể kết luận rằng BA, FC, MH cùng thuộc một đường thẳng.

Từ đó, hoàn thành các yêu cầu của bài toán.