Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M . Tia phân giác của góc ngoài tại đình A cắt đường tròn tại N. Chứng minh Tam giác MBC cân

Để chứng minh tam giác \( MBC \) là tam giác cân, ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tam giác \( MBC \) cân:

1. **Xác định các góc**:
- Do \( M \) là điểm cắt của tia phân giác trong của góc \( A \), ta có:
\[
\angle BAM = \angle CAM
\]
- Do \( N \) là điểm cắt của tia phân giác ngoài của góc \( A \), ta có:
\[
\angle BAN = \angle CAN
\]

2. **Tính góc**:
- Ta có:
\[
\angle BAM + \angle BAC + \angle CAM = 180^\circ
\]
- Thay \( \angle BAM = \angle CAM \) vào, ta có:
\[
2\angle BAM + \angle BAC = 180^\circ
\]
- Từ đó, suy ra:
\[
\angle BAM + \angle BAC = 90^\circ
\]

3. **Sử dụng tổng ba góc trong tam giác**:
- Áp dụng cho tam giác \( MBC \), ta có góc tại \( M \):
\[
\angle MBC + \angle MCB + \angle BMC = 180^\circ
\]
- Mà \( \angle BMC = 2\angle BAC = 180^\circ - ( \angle BAM + \angle CAM ) = 90^\circ \), do đó:
\[
\angle MBC + \angle MCB = 90^\circ
\]

4. **Chứng minh cần bằng**:
- Từ các góc đã xác định:
\[
\angle MBC = \angle MCB
\]
- Điều này cho thấy tam giác \( MBC \) là tam giác cân.

### b) Chứng minh ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng:

1. **Điểm O là trung tâm của đường tròn**:
- Tam giác \( ABC \) nội tiếp, do đó \( O \) là trung tâm quay tròn.

2. **Sử dụng tính chất của tia phân giác**:
- Vì \( M \) và \( N \) nằm trên đường tròn và được xác định bởi tia phân giác trong và ngoài, nên đường thẳng \( MN \) đi qua \( O \) là giá trị trung bình của các góc \( A \) và đường nối hai điểm cắt tia phân giác với đường tròn.

3. **Kết luận**:
- Do đó, ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.

Kết luận là tam giác \( MBC \) là tam giác cân và ba điểm \( M, O, N \) thẳng hàng.