Cho tam giác ABC nhọn, đuường cao AH. Kẻ HM vuông góc với AB, HN vuông góc với AC (M thuộc AB, N thuộc AC). Lấy các điểm D, E sao cho M, N lần lượt là trung điểm của HD và HE. chứng minh AD = AE

Để chứng minh bài toán này, ta sử dụng các thuộc tính của tam giác và tổ hợp hình học.

1. **Chứng minh AD = AE:**

Ta có tam giác \(ABC\) nhọn với đường cao \(AH\) từ \(A\) đến cạnh \(BC\). Kẻ các đường vuông góc \(HM\) và \(HN\) với \(AB\) và \(AC\) tương ứng. Theo giả thiết, \(M\) là điểm trên \(AB\) và \(N\) là điểm trên \(AC\).

Gọi \(D\) và \(E\) là các điểm sao cho \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HD\), tức là \(HM = MD\) và \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(HE\), tức là \(HN = NE\).

Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông:

- Trong tam giác vuông \(AHM\), có:
\[
AM^2 + HM^2 = AH^2
\]

- Trong tam giác vuông \(AHN\), có:
\[
AN^2 + HN^2 = AH^2
\]

Do đó, \(AD\) và \(AE\) có thể được viết như sau:

\[
AD = AH + HD = AH + 2HM
\]
\[
AE = AH + HE = AH + 2HN
\]

Vì \(HM\) và \(HN\) đều là chiều cao của các tam giác vuông \(AMH\) và \(ANH\) nên chúng đều bằng nhau. Do đó:
\[
AD = AE.
\]

2. **Chứng minh \(\angle DAE = 2 \angle BAC\):**

Gọi \(G\) là điểm giao điểm của các đường thẳng \(HM\) và \(HN\). Vì \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(HD\) và \(HE\) nên góc \(DAG\) và góc \(EAG\) đều bằng nhau, tức \(\angle DAG = \angle EAG\).

Theo định lý về góc ở trung điểm, ta có:
\[
\angle DAE = \angle DAG + \angle EAG = 2 \angle BAC.
\]

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh:

- \(AD = AE\) và
- \(\angle DAE = 2 \angle BAC\).

Đó là xác nhận cho các yêu cầu chứng minh trong đề bài.