Cho tam giac ABC. Kẻ BE vuông góc AC, CF vuong goc AB (E thuộc AC, F thuộc AB). O là giao điểm của BF và CF biết OC = AB

Để chứng minh các mệnh đề trong tam giác ABC với các điểm E, F và O như đã cho, ta sẽ tiến hành từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tam giác \( EAB \) đồng dạng với tam giác \( EOC \)

1. **Xét tam giác \( EAB \) và tam giác \( EOC \)**:
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( OC = c \) (theo đề bài, \( OC = AB \)).
- Ta có \( BE \perp AC \) (theo định nghĩa của điểm E).
- Ta có \( CF \perp AB \) (theo định nghĩa của điểm F).

2. **Độ dài các cạnh**:
- Cạnh \( AE \) là đường vuông góc từ điểm B xuống cạnh AC.
- Cạnh \( OE \) là đường vuông góc từ điểm C xuống cạnh AB.

3. **Góc giữa các cạnh**:
- Góc \( OEC = \angle EAB \) (cùng là góc vuông tại E)
- Góc \( AEB = \angle OCE \) (góc giữa hai đường thẳng vuông góc)

4. **Kết luận**:
- Từ các yếu tố trên, ta có:
\[
\frac{EAB}{EOC} = \frac{AE}{EO} = \frac{AB}{OC}
\]
- Do đó, tam giác \( EAB \) đồng dạng với tam giác \( EOC \).

### Phần b: Chứng minh tam giác \( BEC \) là tam giác vuông cân

1. **Xét góc \( BEC \)**:
- Tam giác \( BEC \) có điểm E là điểm đứng yên trên AC (cạnh đối diện) và BE vuông góc với AC.
- Làm cho góc \( CEB = 90^\circ \).

2. **Góc \( ABE \)**:
- Tam giác \( EAB \) đồng dạng với tam giác \( EOC \).

3. **Cạnh của tam giác \( BEC \)**:
- Vì \( OC = AB \) (được biết từ đề bài), cạnh \( BC \) và cạnh \( BE \) có cùng độ dài (kết hợp với tính chất của tam giác vuông cân).

4. **Kết luận**:
- Tam giác \( BEC \) là tam giác vuông tại điểm E và có hai cạnh BE và BC bằng nhau nên \( BEC \) là tam giác vuông cân.

Từ hai phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành yêu cầu bài toán.