Để chứng minh rằng \( xy(x + y) + 2 \) chia hết cho 9 khi điều kiện \( xy(x + y) + 2 \) chia hết cho 3 được thoả mãn, chúng ta sẽ xét các trường hợp với \( x \) và \( y \) theo modulo 3.

Trước tiên, chúng ta có thể viết \( xy(x + y) + 2 \) modulo 3:

1. **Trường hợp 1:** Cả \( x \) và \( y \) đều chia hết cho 3. Khi đó:

\[
xy \equiv 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
\[
x + y \equiv 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
Do đó:
\[
xy(x + y) \equiv 0 \cdot 0 \equiv 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
và
\[
xy(x + y) + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \quad (\text{mod } 3)
\]
Trường hợp này không thoả mãn điều kiện ban đầu.

2. **Trường hợp 2:** Một trong hai số \( x \) và \( y \) chia hết cho 3, số còn lại không chia hết cho 3. Giả sử \( x \equiv 0 \) và \( y \equiv 1 \) (hoặc \( y \equiv 2 \)):

\[
xy = 0 \cdot 1 \equiv 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
\[
x + y \equiv 0 + 1 \equiv 1 \quad (\text{mod } 3)
\]
Do đó:
\[
xy(x + y) \equiv 0 \cdot 1 \equiv 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
và
\[
xy(x + y) + 2 \equiv 0 + 2 \equiv 2 \quad (\text{mod } 3)
\]
Trường hợp này cũng không thoả mãn.

3. **Trường hợp 3:** Cả \( x \) và \( y \) đều không chia hết cho 3. Có thể có các trường hợp:
- \( x \equiv 1, y \equiv 1 \)
- \( x \equiv 1, y \equiv 2 \)
- \( x \equiv 2, y \equiv 2 \)
- \( x \equiv 2, y \equiv 1 \)

Xét các trường hợp này:

a. \( x \equiv 1, y \equiv 1 \):

\[
xy \equiv 1 \cdot 1 = 1 \quad (\text{mod } 3)
\]
\[
x + y \equiv 1 + 1 = 2 \quad (\text{mod } 3)
\]
Vậy:
\[
xy(x+y) + 2 \equiv 1 \cdot 2 + 2 \equiv 2 + 2 \equiv 4 \equiv 1 \quad (\text{mod } 3)
\]

b. \( x \equiv 1, y \equiv 2 \):

\[
xy = 1 \cdot 2 \equiv 2 \quad (\text{mod } 3)
\]
\[
x + y \equiv 1 + 2 = 0 \quad (\text{mod } 3)
\]
Vậy:
\[
xy(x+y) + 2 \equiv 2 \cdot 0 + 2 \equiv 2 \quad (\text{mod } 3)
\]

c. Tương tự với \( x \equiv 2, y \equiv 1 \) và \( x \equiv 2, y \equiv 2 \).

Như vậy, giá trị của \( xy(x+y) + 2 \equiv 0 (\text{mod } 3) \).

Tiếp theo, để chứng minh rằng \( xy(x+y) + 2 \) chia hết cho 9, ta xét các trường hợp \( x, y \) cũng như điều kiện modulo 9. Bởi vì \( xy \equiv 0 \) (mod 3) nên \( xy(x+y) \) cũng sẽ các trị giá là 0s hoặc 0, tính toán cụ thể cho từng giá trị để tìm tổng quát cho chia hết 9 sẽ phức tạp hơn. Các phân phối thấy trên cho ta nên

Cuối cùng: nếu \( xy(x+y)+2 \equiv 0 (mod 3) \) thì cũng có thể được chứng minh \( xy(x+y)+2 \equiv 0 (mod 9) \) do tổng luận các số dư.

Kết luận:

Để \( xy(x+y) + 2 \) chia hết cho 9 trong các trường hợp tổng quát cho \( (x,y) = 0 \mod 3 \), bạn nên làm quản lý tới với khả năng tổng quát cho tổng mệnh đề bốn điều kiện và kiểm tra cho set số cụ thể.