Để chứng minh rằng \(\triangle ABC = \triangle ADC\) và \(BD \perp AC\), ta làm theo các bước sau:

### 1. **Sử dụng thông tin đã cho:**
- \(AB = AD\)
- \(BC = DC\)

### 2. **Chứng minh hai tam giác bằng nhau:**
- **Cạnh chung:** \(AC\) là cạnh chung của hai tam giác \(\triangle ABC\) và \(\triangle ADC\).
- **Cạnh đối diện:** \(AB = AD\) (theo giả thiết).
- **Cạnh đối diện:** \(BC = DC\) (theo giả thiết).

Như vậy, ta có 2 cạnh của \(\triangle ABC\) và \(\triangle ADC\) bằng nhau và có 1 cạnh chung \(AC\).

**Theo định lý tam giác:**
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADC
\]

### 3. **Chứng minh \(BD \perp AC\):**
- Vì \(\triangle ABC \cong \triangle ADC\), ta có góc \(ABC = \angle ADC\).
- Tại điểm \(D\), từ các tính chất của hai tam giác và các cạnh bằng nhau, suy ra rằng đường thẳng \(BD\) là đường trung trực của \(AC\) (do tính đối xứng).
- Do đó, có \(BD \perp AC\).

### Kết luận:
Vậy ta đã chứng minh được rằng \(\triangle ABC = \triangle ADC\) và \(BD \perp AC\).