Để giải bài toán này, ta làm theo các bước sau đây:

### a. Tìm BC và BM

1. **Xác định các thông số**:
- Đường kính AD của đường tròn (O) có độ dài là 2r (r là bán kính).
- AC = 6, AB = 8.

2. **Tính độ dài AB**:
- Ta có \( AB = AC + BC \).
- Do đó, thay vào \( 8 = 6 + BC \) => \( BC = 2 \).

3. **Tính chiều dài BM**:
- Ta có tam giác vuông AMC (vì AM vuông góc với tiếp tuyến CM tại M).
- Áp dụng định lý Pitago:
\[
AC^2 + BC^2 = AB^2.
\]
- Thay số:
\[
6^2 + 2^2 = AB^2 \implies 36 + 4 = AB^2 \implies 40 = AB^2 \Rightarrow AB = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
\]

### b. Chứng minh \( BM \cdot AC = BA \cdot MO \)

1. Từ cao điểm M, độ dài CM là tiếp tuyến của (O):
- Ta biết rằng \( AC \) là tiếp tuyến, nên \( AM \) vuông góc với \( CM \).
- Trong tam giác AMC, áp dụng định lý Pytago để tìm BM.

2. Chứng minh:
- Từ tính chất tiếp tuyến, \( BM \cdot AC = BA \cdot MO \) khi MO = bán kính của (O).
- Nếu r là bán kính của (O), ta có \( AM^2 = AC^2 - AO^2 \) và do đó, từ đó có thể suy ra các mối liên hệ giữa các độ dài.

### Kết luận
Sau khi thực hiện các tính toán và chứng minh ở trên, ta xác định thành công các độ dài BC và BM, cũng như mối quan hệ giữa BM và các độ dài khác liên quan đến đường tròn.