Để phân tích đa thức \( x^2 - 4y^2 + x + 2y \) thành nhân tử, ta có thể nhóm các hạng tử một cách hợp lý. Bước đầu tiên, ta sẽ sắp xếp lại đa thức:

\[
x^2 + x - 4y^2 + 2y
\]

Tiếp theo, ta sẽ nhóm các hạng tử:

\[
(x^2 + x) + (-4y^2 + 2y)
\]

Bây giờ, ta sẽ phân tích từng nhóm hạng tử. Đối với nhóm \( x^2 + x \), ta có thể lấy \( x \) ra ngoài:

\[
x(x + 1)
\]

Đối với nhóm \( -4y^2 + 2y \), ta có thể lấy \( -2y \) ra ngoài:

\[
-2y(2y - 1)
\]

Như vậy, ta có:

\[
x(x + 1) - 2y(2y - 1)
\]

Bây giờ, ta chú ý rằng không có yếu tố chung nào giữa \( x(x + 1) \) và \( -2y(2y - 1) \). Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra xem liệu đa thức này có thể được viết dưới dạng tích của hai đa thức khác hay không.

Ta có thể thử hoàn thành bình phương, hoặc sử dụng một vài phương pháp khác nhưng thực tế sẽ thấy rằng không có cách nào dể viết đa thức này lại thành dạng nhân tử đơn giản hơn nữa.

Vì thế, kết luận cuối cùng là:

\[
x^2 - 4y^2 + x + 2y
\]

không thể phân tích thành nhân tử theo nghĩa đơn giản hơn nữa.