Tìm số chữ số tận cùng của tổng sau

Tổng \( S = 7^1 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^{2023} \) có thể viết lại dưới dạng tổng hình học.

Công thức tổng của cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]
Trong trường hợp này:
- \( a = 7^1 = 7 \)
- \( r = 7 \)
- \( n = 2023 \)

Áp dụng công thức, ta có:
\[
S = 7 \frac{1 - 7^{2023}}{1 - 7} = 7 \frac{1 - 7^{2023}}{-6} = -\frac{7(1 - 7^{2023})}{6}
\]

Để tìm chữ số tận cùng của \( S \), ta chỉ cần tìm chữ số tận cùng của \( 7^{2023} \).

Chữ số tận cùng của \( 7^n \) thay đổi theo chu kỳ 4 như sau:
- \( 7^1 \equiv 7 \mod 10 \)
- \( 7^2 \equiv 9 \mod 10 \)
- \( 7^3 \equiv 3 \mod 10 \)
- \( 7^4 \equiv 1 \mod 10 \)

Chu kỳ là 4, nên ta tính \( 2023 \mod 4 \):
\[
2023 \mod 4 = 3
\]
Điều này có nghĩa là chữ số tận cùng của \( 7^{2023} \) là chữ số tận cùng của \( 7^3 \), tức là 3.

Vậy chữ số tận cùng của \( S \) sẽ được tính theo:
\[
S \equiv -\frac{7(1 - 3)}{6} = -\frac{7 \cdot (-2)}{6} = \frac{14}{6} \equiv 4 \mod 10
\]

Vì vậy, chữ số tận cùng của tổng \( S \) là **4**.