Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại M

Để chứng minh rằng ba điểm A, H, D thẳng hàng trong tam giác nhọn ABC, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học.

1. **Phân tích cấu trúc của tam giác và các điểm**:
- BE và CF là các đường cao của tam giác ABC, cắt nhau tại H.
- Từ B, ta vẽ đường thẳng sao cho song song với EF (đường thẳng đi qua hai chân đường cao E và F) và cắt AC tại M.
- I là trung điểm của BM.
- D là giao điểm của EI và BC.

2. **Chứng minh A, H, D thẳng hàng**:
- Theo tính chất của trung điểm, \(I\) chia đoạn thẳng \(BM\) thành hai đoạn \(BI\) và \(IM\) có độ dài bằng nhau.
- Điểm \(D\) nằm trên đoạn thẳng \(BC\) và được xác định bởi giao điểm của EI với BC.

3. **Sử dụng các tính chất hình học**:
- Ta sẽ chứng minh rằng tỉ lệ đoạn thẳng liên quan đến các góc và các cạnh của tam giác ABC sẽ cho ra sự thẳng hàng giữa A, H, và D.
- Nếu ta xét các tam giác nhỏ hình thành từ các điểm A, B, C, H, E và F, sẽ thấy rằng có các tỉ lệ chiều cao và chiều dài tương ứng cho từng cạnh, từ đó suy ra được mối quan hệ giữa các góc.

4. **Định nghĩa và sử dụng trọng tâm**:
- Khi đã biết rằng \(H\) là trực tâm của tam giác ABC, ta có thể sử dụng các tính chất của trực tâm để suy luận thêm về vị trí thẳng hàng của \(A, H, D\).

5. **Kết luận**:
- Sử dụng định lý Menelaus hoặc đồng dạng tam giác có thể làm cho việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn. Cụ thể, nếu tỉ lệ các đoạn thẳng được giữ nguyên cho ba điểm A, H và D, ta có thể kết luận rằng ba điểm này thẳng hàng.

Conclusively, qua quá trình phân tích và áp dụng các tính chất hình học, ta có thể chứng minh rằng A, H và D thẳng hàng.