Để phân tích đa thức \(x^2 - 4y^2 + 2x + 4y\) thành nhân tử, trước tiên chúng ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
x^2 + 2x - 4y^2 + 4y.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm thành hai phần:

\[
(x^2 + 2x) + (-4y^2 + 4y).
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho lượng \(x^2 + 2x\):

\[
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1.
\]

Đối với phần \(-4y^2 + 4y\), chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
-4y^2 + 4y = -4(y^2 - y) = -4 \left( y^2 - y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \right) = -4 \left( (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) = -4(y - \frac{1}{2})^2 + 1.
\]

Như vậy, chúng ta có thể viết lại đa thức ban đầu như sau:

\[
(x + 1)^2 - 1 - 4 \left( (y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \right) = (x + 1)^2 - 1 - 4(y - \frac{1}{2})^2 + 1.
\]

Sau đó, ghép các hạng tử lại:

\[
(x + 1)^2 - 4(y - \frac{1}{2})^2.
\]

Nhận thấy rằng đây là biểu thức của một hiệu hai bình phương:

\[
(a^2 - b^2) = (a - b)(a + b).
\]

Với \(a = (x + 1)\) và \(b = 2(y - \frac{1}{2}) = 2y - 1\),

chúng ta có:

\[
(x + 1 - (2y - 1))(x + 1 + (2y - 1)).
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
(x - 2y + 2)(x + 2y).
\]

Vậy, phân tích thành nhân tử của đa thức \(x^2 - 4y^2 + 2x + 4y\) là:

\[
(x - 2y + 2)(x + 2y).
\]