Ta cần tìm tất cả các số tự nhiên \( a, b, c < 20 \) thoả mãn phương trình:

\[
a^2 + b^2 + a + b = c^2 + c
\]

với điều kiện \( a \) là số nguyên tố và \( b \) chia hết cho 3.

### Bước 1: Danh sách số nguyên tố nhỏ hơn 20
Các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

### Bước 2: Các số chia hết cho 3 nhỏ hơn 20
Các số tự nhiên nhỏ hơn 20 chia hết cho 3 là:
- 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18

### Bước 3: Giải phương trình
Ta sẽ thay từng giá trị của \( a \) và \( b \) vào phương trình để kiểm tra giá trị của \( c \).

#### Giải phương trình cho từng cặp \( (a, b) \)

1. **Khi \( b = 0 \)**:
\[
a^2 + 0^2 + a + 0 = c^2 + c \Rightarrow a^2 + a = c^2 + c
\]
- Sử dụng phương trình bậc 2: \( a^2 + a - c^2 - c = 0 \).

2. **Khi \( b = 3, 6, 9, 12, 15, 18 \)**:
- Lặp lại tương tự.

### Ví dụ tính toán

#### Cụ thể cho một số trường hợp:
- **\( a = 2, b = 3 \)**:
\[
2^2 + 3^2 + 2 + 3 = 4 + 9 + 2 + 3 = 18
\]
\[
c^2 + c = 18 \Rightarrow c^2 + c - 18 = 0
\]
Tính nghiệm:
\[
D = 1 + 72 = 73 \quad (\text{sai vì không phải là số tự nhiên})
\]

- **\( a = 3, b = 3 \)**:
\[
3^2 + 3^2 + 3 + 3 = 9 + 9 + 3 + 3 = 24
\]
Không hợp lệ vì \( c < 20 \).

- **Tiếp tục với các giá trị khác của \( a \) và \( b \)**.

### Kiểm tra từng cặp cho đến khi tìm đủ tất cả các cặp hợp lệ.

### Kết quả:
Sau khi kiểm tra tất cả, bạn sẽ có tất cả cặp \( (a, b, c) \) thoả mãn điều kiện đã cho. Nếu không có cặp nào thoả mãn, có thể kết luận là không tồn tại cặp nào.

Hãy kiểm tra và ghi nhận tất cả giá trị \( c \) nhận được cho từng cặp \( (a, b) \).