Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu trong câu hỏi.

### a. Thu gọn tổng \( A \)

Tổng \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{41} \) là một chuỗi hình học, trong đó:

- \( a = 1 \) (số hạng đầu)
- \( r = 2 \) (công bội)

Số hạng cuối là \( 2^{41} \) và số hạng có trong chuỗi là 42 (từ \( 2^0 \) đến \( 2^{41} \)).

Công thức tổng của chuỗi hình học là:

\[
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Áp dụng vào tổng \( A \):

\[
A = 1 \cdot \frac{2^{42} - 1}{2 - 1} = 2^{42} - 1
\]

### b. Chứng tỏ \( A \) chia hết cho 3, 7

Đầu tiên, ta chứng minh \( 2^{42} - 1 \) chia hết cho \( 3 \):

**Chia hết cho 3:**

Vì \( 2 \equiv -1 \mod 3 \), ta có:

\[
2^{42} \equiv (-1)^{42} \equiv 1 \mod 3
\]

Vậy:

\[
2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 3.

**Chia hết cho 7:**

Vì \( 2^3 \equiv 1 \mod 7 \), ta có:

\[
2^{42} = (2^3)^{14} \equiv 1^{14} \equiv 1 \mod 7
\]

Vậy:

\[
2^{42} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 7
\]

Chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 7.

### c. Tìm số dư của \( A \) khi chia cho 5

Để tìm số dư của \( A = 2^{42} - 1 \) modulo 5, ta sử dụng định lý băm nhỏ hoặc chu kỳ của lũy thừa.

Ta xét các lũy thừa của 2 mod 5:

- \( 2^1 \equiv 2 \mod 5 \)
- \( 2^2 \equiv 4 \mod 5 \)
- \( 2^3 \equiv 3 \mod 5 \)
- \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \)

Chu kỳ của \( 2^n \mod 5 \) là 4 (2, 4, 3, 1).

Để tìm \( 2^{42} \mod 5 \):

\[
42 \mod 4 = 2 \quad (\text{vì } 42 = 10 \times 4 + 2)
\]

Do đó:

\[
2^{42} \equiv 2^2 \equiv 4 \mod 5
\]

Vậy:

\[
A = 2^{42} - 1 \equiv 4 - 1 \equiv 3 \mod 5
\]

### Kết luận
- a. \( A = 2^{42} - 1 \)
- b. \( A \) chia hết cho 3 và 7.
- c. Số dư của \( A \) khi chia cho 5 là 3.